ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltled Structured version   GIF version

Theorem ltled 6892
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (φA ℝ)
ltd.2 (φB ℝ)
ltled.1 (φA < B)
Assertion
Ref Expression
ltled (φAB)

Proof of Theorem ltled
StepHypRef Expression
1 ltled.1 . 2 (φA < B)
2 ltd.1 . . 3 (φA ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (φB ℝ)
4 ltle 6862 . . 3 ((A B ℝ) → (A < BAB))
52, 3, 4syl2anc 391 . 2 (φ → (A < BAB))
61, 5mpd 13 1 (φAB)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wcel 1390   class class class wbr 3755  cr 6670   < clt 6817  cle 6818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823
This theorem is referenced by:  ltnsymd  6893  addgt0d  7267  lt2addd  7313  lt2msq1  7592  lediv12a  7601  ledivp1  7610  nn2ge  7687  fznatpl1  8668  expnbnd  8985
  Copyright terms: Public domain W3C validator