Theorem ltled 6932

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (φ → A ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (φ → B ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (φ → A < B)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (φ → A ≤ B)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (φ → A < B)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (φ → A ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (φ → B ∈ ℝ)
4		ltle 6902	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A < B → A ≤ B))
5	2, 3, 4	syl2anc 391	. 2 ⊢ (φ → (A < B → A ≤ B))
6	1, 5	mpd 13	1 ⊢ (φ → A ≤ B)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  ℝcr 6710   < clt 6857   ≤ cle 6858

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-lttrn 6797

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863

This theorem is referenced by:  ltnsymd  6933  addgt0d  7307  lt2addd  7353  lt2msq1  7632  lediv12a  7641  ledivp1  7650  nn2ge  7727  fznatpl1  8708  expnbnd  9025