Theorem qbtwnzlemshrink 9104

Description: Lemma for qbtwnz 9106. Shrinking the range around the given rational number. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnzlemshrink	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑥   𝑚,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem qbtwnzlemshrink

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 905	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℕ)
2		3simpb 902	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
3		oveq2 5520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 1))
4	3	breq2d 3776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 1)))
5	4	anbi2d 437	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 1))))
6	5	rexbidv 2327	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 1))))
7	6	anbi2d 437	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 1)))))
8	7	imbi1d 220	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))))
9		oveq2 5520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
10	9	breq2d 3776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
11	10	anbi2d 437	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
12	11	rexbidv 2327	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
13	12	anbi2d 437	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
14	13	imbi1d 220	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))))
15		oveq2 5520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
16	15	breq2d 3776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
17	16	anbi2d 437	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
18	17	rexbidv 2327	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
19	18	anbi2d 437	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
20	19	imbi1d 220	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))))
21		oveq2 5520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
22	21	breq2d 3776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
23	22	anbi2d 437	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
24	23	rexbidv 2327	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
25	24	anbi2d 437	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
26	25	imbi1d 220	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ↔ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))))
27		breq1 3767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ 𝐴))
28		oveq1 5519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
29	28	breq2d 3776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 1) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
30	27, 29	anbi12d 442	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
31	30	cbvrexv 2534	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
32	31	biimpi 113	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
33	32	adantl 262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
34		qbtwnzlemstep 9103	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
35	34	3expia 1106	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
36	35	imdistanda 422	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
37	36	imim1d 69	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))))
38	8, 14, 20, 26, 33, 37	nnind 7930	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
39	1, 2, 38	sylc 56	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061  ℕcn 7914  ℤcz 8245  ℚcq 8554

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-q 8555  df-rp 8584

This theorem is referenced by:  qbtwnzlemex  9105