ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzdifsuc Structured version   GIF version

Theorem fzdifsuc 8713
Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzdifsuc (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 8660 . . 3 (𝑘 (𝑀...𝑁) → 𝑘 ℤ)
21adantl 262 . 2 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ℤ)
3 eldifi 3060 . . . 4 (𝑘 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 (𝑀...(𝑁 + 1)))
4 elfzelz 8660 . . . 4 (𝑘 (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ℤ)
53, 4syl 14 . . 3 (𝑘 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ℤ)
65adantl 262 . 2 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})) → 𝑘 ℤ)
7 simpr 103 . . . 4 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → 𝑘 ℤ)
8 eluzel2 8254 . . . . 5 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)
98adantr 261 . . . 4 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → 𝑀 ℤ)
10 eluzelz 8258 . . . . 5 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑁 ℤ)
1110adantr 261 . . . 4 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → 𝑁 ℤ)
12 elfz 8650 . . . 4 ((𝑘 𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑘 (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝑘 𝑘𝑁)))
137, 9, 11, 12syl3anc 1134 . . 3 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑘 (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝑘 𝑘𝑁)))
14 eldif 2921 . . . . . . 7 (𝑘 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑘 (𝑀...(𝑁 + 1)) ¬ 𝑘 {(𝑁 + 1)}))
1511peano2zd 8139 . . . . . . . . 9 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑁 + 1) ℤ)
16 elfz 8650 . . . . . . . . 9 ((𝑘 𝑀 (𝑁 + 1) ℤ) → (𝑘 (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀𝑘 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
177, 9, 15, 16syl3anc 1134 . . . . . . . 8 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑘 (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀𝑘 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
18 elsn 3382 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 {(𝑁 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑁 + 1))
1918notbii 593 . . . . . . . . . 10 𝑘 {(𝑁 + 1)} ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
20 nesym 2244 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
2119, 20bitr4i 176 . . . . . . . . 9 𝑘 {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
2221a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (¬ 𝑘 {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))
2317, 22anbi12d 442 . . . . . . 7 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → ((𝑘 (𝑀...(𝑁 + 1)) ¬ 𝑘 {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀𝑘 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
2414, 23syl5bb 181 . . . . . 6 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑘 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀𝑘 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
25 anass 381 . . . . . 6 (((𝑀𝑘 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) (𝑁 + 1) ≠ 𝑘) ↔ (𝑀𝑘 (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
2624, 25syl6bb 185 . . . . 5 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑘 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀𝑘 (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
27 zltlen 8095 . . . . . . 7 ((𝑘 (𝑁 + 1) ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
287, 15, 27syl2anc 391 . . . . . 6 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
2928anbi2d 437 . . . . 5 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → ((𝑀𝑘 𝑘 < (𝑁 + 1)) ↔ (𝑀𝑘 (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
3026, 29bitr4d 180 . . . 4 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑘 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀𝑘 𝑘 < (𝑁 + 1))))
31 zleltp1 8075 . . . . . 6 ((𝑘 𝑁 ℤ) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
327, 11, 31syl2anc 391 . . . . 5 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
3332anbi2d 437 . . . 4 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → ((𝑀𝑘 𝑘𝑁) ↔ (𝑀𝑘 𝑘 < (𝑁 + 1))))
3430, 33bitr4d 180 . . 3 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑘 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀𝑘 𝑘𝑁)))
3513, 34bitr4d 180 . 2 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑘 ℤ) → (𝑘 (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})))
362, 6, 35eqrdav 2036 1 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  cdif 2908  {csn 3367   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857  cle 6858  cz 8021  cuz 8249  ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator