Theorem eldif 2921

Description: Expansion of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldif	⊢ (A ∈ (B ∖ 𝐶) ↔ (A ∈ B ∧ ¬ A ∈ 𝐶))

Proof of Theorem eldif

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2560	. 2 ⊢ (A ∈ (B ∖ 𝐶) → A ∈ V)
2		elex 2560	. . 3 ⊢ (A ∈ B → A ∈ V)
3	2	adantr 261	. 2 ⊢ ((A ∈ B ∧ ¬ A ∈ 𝐶) → A ∈ V)
4		eleq1 2097	. . . 4 ⊢ (x = A → (x ∈ B ↔ A ∈ B))
5		eleq1 2097	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ∈ 𝐶 ↔ A ∈ 𝐶))
6	5	notbid 591	. . . 4 ⊢ (x = A → (¬ x ∈ 𝐶 ↔ ¬ A ∈ 𝐶))
7	4, 6	anbi12d 442	. . 3 ⊢ (x = A → ((x ∈ B ∧ ¬ x ∈ 𝐶) ↔ (A ∈ B ∧ ¬ A ∈ 𝐶)))
8		df-dif 2914	. . 3 ⊢ (B ∖ 𝐶) = {x ∣ (x ∈ B ∧ ¬ x ∈ 𝐶)}
9	7, 8	elab2g 2683	. 2 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ (B ∖ 𝐶) ↔ (A ∈ B ∧ ¬ A ∈ 𝐶)))
10	1, 3, 9	pm5.21nii 619	1 ⊢ (A ∈ (B ∖ 𝐶) ↔ (A ∈ B ∧ ¬ A ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ∖ cdif 2908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-dif 2914

This theorem is referenced by:  eldifd  2922  eldifad  2923  eldifbd  2924  difeqri  3058  eldifi  3060  eldifn  3061  difdif  3063  ssconb  3070  sscon  3071  ssdif  3072  raldifb  3077  ssddif  3165  unssdif  3166  inssdif  3167  difin  3168  unssin  3170  inssun  3171  invdif  3173  indif  3174  difundi  3183  difindiss  3185  indifdir  3187  undif3ss  3192  difin2  3193  symdifxor  3197  dfnul2  3220  reldisj  3265  disj3  3266  undif4  3278  ssdif0im  3280  inssdif0im  3285  ssundifim  3300  eldifsn  3486  difprsnss  3493  iundif2ss  3713  iindif2m  3715  brdif  3803  unidif0  3911  eldifpw  4174  elirr  4224  en2lp  4232  difopab  4412  intirr  4654  cnvdif  4673  imadiflem  4921  imadif  4922  xrlenlt  6861  irradd  8335  irrmul  8336  fzdifsuc  8693