ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlenlt Structured version   GIF version

Theorem xrlenlt 6833
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlenlt ((A * B *) → (AB ↔ ¬ B < A))

Proof of Theorem xrlenlt
StepHypRef Expression
1 df-br 3755 . . 3 (AB ↔ ⟨A, B ≤ )
2 opelxpi 4318 . . . 4 ((A * B *) → ⟨A, B (ℝ* × ℝ*))
3 df-le 6815 . . . . . . 7 ≤ = ((ℝ* × ℝ*) ∖ < )
43eleq2i 2101 . . . . . 6 (⟨A, B ≤ ↔ ⟨A, B ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ))
5 eldif 2921 . . . . . 6 (⟨A, B ((ℝ* × ℝ*) ∖ < ) ↔ (⟨A, B (ℝ* × ℝ*) ¬ ⟨A, B < ))
64, 5bitri 173 . . . . 5 (⟨A, B ≤ ↔ (⟨A, B (ℝ* × ℝ*) ¬ ⟨A, B < ))
76baib 827 . . . 4 (⟨A, B (ℝ* × ℝ*) → (⟨A, B ≤ ↔ ¬ ⟨A, B < ))
82, 7syl 14 . . 3 ((A * B *) → (⟨A, B ≤ ↔ ¬ ⟨A, B < ))
91, 8syl5bb 181 . 2 ((A * B *) → (AB ↔ ¬ ⟨A, B < ))
10 opelcnvg 4457 . . . 4 ((A * B *) → (⟨A, B < ↔ ⟨B, A < ))
11 df-br 3755 . . . 4 (B < A ↔ ⟨B, A < )
1210, 11syl6rbbr 188 . . 3 ((A * B *) → (B < A ↔ ⟨A, B < ))
1312notbid 591 . 2 ((A * B *) → (¬ B < A ↔ ¬ ⟨A, B < ))
149, 13bitr4d 180 1 ((A * B *) → (AB ↔ ¬ B < A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390  cdif 2908  cop 3369   class class class wbr 3754   × cxp 4285  ccnv 4286  *cxr 6808   < clt 6809  cle 6810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-br 3755  df-opab 3809  df-xp 4293  df-cnv 4295  df-le 6815
This theorem is referenced by:  lenlt  6843  pnfge  8428  mnfle  8431  xrltle  8437  xrleid  8438  xrletri3  8439  xrlelttr  8440  xrltletr  8441  xrletr  8442  xleneg  8468  iccid  8512  icc0r  8513  icodisj  8578  ioodisj  8579
  Copyright terms: Public domain W3C validator