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Theorem unidif0 3894
Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
unidif0 (A ∖ {∅}) = A

Proof of Theorem unidif0
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3206 . . . . . . 7 (x y → ¬ y = ∅)
21pm4.71i 371 . . . . . 6 (x y ↔ (x y ¬ y = ∅))
32anbi1i 434 . . . . 5 ((x y y A) ↔ ((x y ¬ y = ∅) y A))
4 an32 484 . . . . 5 (((x y y A) ¬ y = ∅) ↔ ((x y ¬ y = ∅) y A))
5 anass 383 . . . . 5 (((x y y A) ¬ y = ∅) ↔ (x y (y A ¬ y = ∅)))
63, 4, 53bitr2ri 198 . . . 4 ((x y (y A ¬ y = ∅)) ↔ (x y y A))
76exbii 1478 . . 3 (y(x y (y A ¬ y = ∅)) ↔ y(x y y A))
8 eluni 3557 . . . 4 (x (A ∖ {∅}) ↔ y(x y y (A ∖ {∅})))
9 eldif 2904 . . . . . . 7 (y (A ∖ {∅}) ↔ (y A ¬ y {∅}))
10 elsn 3365 . . . . . . . . 9 (y {∅} ↔ y = ∅)
1110notbii 581 . . . . . . . 8 y {∅} ↔ ¬ y = ∅)
1211anbi2i 433 . . . . . . 7 ((y A ¬ y {∅}) ↔ (y A ¬ y = ∅))
139, 12bitri 173 . . . . . 6 (y (A ∖ {∅}) ↔ (y A ¬ y = ∅))
1413anbi2i 433 . . . . 5 ((x y y (A ∖ {∅})) ↔ (x y (y A ¬ y = ∅)))
1514exbii 1478 . . . 4 (y(x y y (A ∖ {∅})) ↔ y(x y (y A ¬ y = ∅)))
168, 15bitri 173 . . 3 (x (A ∖ {∅}) ↔ y(x y (y A ¬ y = ∅)))
17 eluni 3557 . . 3 (x Ay(x y y A))
187, 16, 173bitr4i 201 . 2 (x (A ∖ {∅}) ↔ x A)
1918eqriv 2019 1 (A ∖ {∅}) = A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   wa 97   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  cdif 2891  c0 3201  {csn 3350   cuni 3554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-dif 2897  df-nul 3202  df-sn 3356  df-uni 3555
This theorem is referenced by: (None)
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