Theorem en2lp 4278

Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206. (Contributed by NM, 16-Oct-1996.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
en2lp	⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem en2lp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
2		prid2g 3475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3		eldif 2927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
4		pm3.4 316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐵 ∈ V → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
5	3, 4	sylbi 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → (𝐵 ∈ V → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
6	5	com12 27	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}))
7	2, 6	mt2d 555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ V → ¬ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
8	1, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
9	8	ad2antlr 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
10		simp1r 929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
11		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝐵 ∈ 𝑥))
12		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
13	11, 12	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
14	13	spcgv 2640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑥 → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
15	14	pm2.43b 46	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
16	15	3ad2ant2 926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
17		eleq2 2101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝑥 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
18	17	imbi1d 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
19	18	3ad2ant3 927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝐵 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
20	16, 19	mpbid 135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
21	10, 20	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
22	21	3expia 1106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
23	9, 22	mtod 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
24		elex 2566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
25		prid1g 3474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
26		eldif 2927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
27		pm3.4 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
28	26, 27	sylbi 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
29	28	com12 27	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
30	25, 29	mt2d 555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
31	24, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
32	31	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
33	32	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
34		simp1l 928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
35		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝑥))
36		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
37	35, 36	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
38	37	spcgv 2640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
39	38	pm2.43b 46	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
40	39	3ad2ant2 926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
41		eleq2 2101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
42	41	imbi1d 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
43	42	3ad2ant3 927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝑥 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))))
44	40, 43	mpbid 135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
45	34, 44	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
46	45	3expia 1106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → (𝑥 = 𝐵 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
47	33, 46	mtod 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
48		ioran 669	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵))
49	23, 47, 48	sylanbrc 394	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → ¬ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
50		vex 2560	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
51		eldif 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}))
52	50, 51	mpbiran 847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
53	50	elpr 3396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
54	52, 53	xchbinx 607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
55	49, 54	sylibr 137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
56	55	ex 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
57	56	alrimiv 1754	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∀𝑥(∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
58		df-ral 2311	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
59		clelsb3 2142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
60	59	imbi2i 215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 → [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
61	60	albii 1359	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
62	58, 61	bitri 173	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
63	62	imbi1i 227	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
64	63	albii 1359	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) ↔ ∀𝑥(∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
65	57, 64	sylibr 137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
66		ax-setind 4262	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})) → ∀𝑥 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
67	65, 66	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
68		eleq1 2100	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
69	68	spcgv 2640	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
70	69	adantr 261	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∀𝑥 𝑥 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵})))
71	67, 70	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝐴, 𝐵}))
72	71, 32	pm2.65i 568	1 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∧ w3a 885  ∀wal 1241   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  [wsb 1645  ∀wral 2306  Vcvv 2557   ∖ cdif 2914  {cpr 3376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382

This theorem is referenced by:  preleq  4279  suc11g  4281  ordsuc  4287  2pwuninelg  5898  nntri2  6073  nndcel  6078