Theorem indifdir 3193

Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
indifdir	⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem indifdir

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3126	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
2		elin 3126	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
3	2	notbii 594	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
4	1, 3	anbi12i 433	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
5		eldif 2927	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
6		elin 3126	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
7		eldif 2927	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	7	anbi1i 431	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
9	6, 8	bitri 173	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
10		an32 496	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		simpl 102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	11	con3i 562	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
13	12	anim2i 324	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
14		simpl 102	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
15		ax-in2 545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ⊥))
16	15	expcomd 1330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ⊥)))
17	16	impcom 116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → ⊥))
18		dfnot 1262	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → ⊥))
19	17, 18	sylibr 137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
20	19	adantll 445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
21	14, 20	jca 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
22	13, 21	impbii 117	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
23	10, 22	bitri 173	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
24	9, 23	bitri 173	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
25	4, 5, 24	3bitr4ri 202	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)))
26	25	eqriv 2037	1 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243  ⊥wfal 1248   ∈ wcel 1393   ∖ cdif 2914   ∩ cin 2916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-in 2924

This theorem is referenced by: (None)