ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzdifsuc Unicode version
Theorem fzdifsuc 8943
Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzdifsuc |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) )
Proof of Theorem fzdifsuc
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 8890 . . 3 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
21adantl 262 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
3 eldifi 3066 . . . 4 |- ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) -> k e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
4 elfzelz 8890 . . . 4 |- ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
53, 4syl 14 . . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) -> k e. ZZ )
65adantl 262 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) ) -> k e. ZZ )
7 simpr 103 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
8 eluzel2 8478 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
98adantr 261 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> M e. ZZ )
10 eluzelz 8482 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
1110adantr 261 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12 elfz 8880 . . . 4 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
137, 9, 11, 12syl3anc 1135 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
14 eldif 2927 . . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) /\ -. k e. { ( N + 1 ) } ) )
1511peano2zd 8363 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
16 elfz 8880 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) ) )
177, 9, 15, 16syl3anc 1135 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) ) )
18 velsn 3392 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { ( N + 1 ) } <-> k = ( N + 1 ) )
1918notbii 594 . . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. { ( N + 1 ) } <-> -. k = ( N + 1 ) )
20 nesym 2250 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N + 1 ) =/= k <-> -. k = ( N + 1 ) )
2119, 20bitr4i 176 . . . . . . . . 9 |- ( -. k e. { ( N + 1 ) } <-> ( N + 1 ) =/= k )
2221a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( -. k e. { ( N + 1 ) } <-> ( N + 1 ) =/= k ) )
2317, 22anbi12d 442 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) /\ -. k e. { ( N + 1 ) } ) <-> ( ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
2414, 23syl5bb 181 . . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
25 anass 381 . . . . . 6 |- ( ( ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) <-> ( M <_ k /\ ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
2624, 25syl6bb 185 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( M <_ k /\ ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) ) )
27 zltlen 8319 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( k < ( N + 1 ) <-> ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
287, 15, 27syl2anc 391 . . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k < ( N + 1 ) <-> ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
2928anbi2d 437 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( N + 1 ) ) <-> ( M <_ k /\ ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) ) )
3026, 29bitr4d 180 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( M <_ k /\ k < ( N + 1 ) ) ) )
31 zleltp1 8299 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
327, 11, 31syl2anc 391 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
3332anbi2d 437 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) <-> ( M <_ k /\ k < ( N + 1 ) ) ) )
3430, 33bitr4d 180 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
3513, 34bitr4d 180 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) ) )
362, 6, 35eqrdav 2039 1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   \ cdif 2914   {csn 3375   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   <_ cle 7061   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   ...cfz 8874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator