Theorem mulge0 7363

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → 0 ≤ (A · B))

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 6767	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A · B) ∈ ℝ)
2	1	ad2ant2r 478	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → (A · B) ∈ ℝ)
3		0re 6785	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnsym2 6865	. . . 4 ⊢ (((A · B) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((A · B) < 0 ∧ 0 < (A · B)))
5	2, 3, 4	sylancl 392	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → ¬ ((A · B) < 0 ∧ 0 < (A · B)))
6		orc 632	. . . . . 6 ⊢ ((A · B) < 0 → ((A · B) < 0 ∨ 0 < (A · B)))
7		reaplt 7332	. . . . . . 7 ⊢ (((A · B) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((A · B) # 0 ↔ ((A · B) < 0 ∨ 0 < (A · B))))
8	2, 3, 7	sylancl 392	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → ((A · B) # 0 ↔ ((A · B) < 0 ∨ 0 < (A · B))))
9	6, 8	syl5ibr 145	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → ((A · B) < 0 → (A · B) # 0))
10		simplll 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → A ∈ ℝ)
11		simplrl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → B ∈ ℝ)
12		recn 6772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (B ∈ ℝ → B ∈ ℂ)
13		recn 6772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
14		mulap0r 7359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ (A · B) # 0) → (A # 0 ∧ B # 0))
15	13, 14	syl3an1 1167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℂ ∧ (A · B) # 0) → (A # 0 ∧ B # 0))
16	12, 15	syl3an2 1168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ (A · B) # 0) → (A # 0 ∧ B # 0))
17	16	3expia 1105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A · B) # 0 → (A # 0 ∧ B # 0)))
18	17	ad2ant2r 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → ((A · B) # 0 → (A # 0 ∧ B # 0)))
19	18	imp 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → (A # 0 ∧ B # 0))
20	19	simpld 105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → A # 0)
21		reaplt 7332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (A # 0 ↔ (A < 0 ∨ 0 < A)))
22	3, 21	mpan2 401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℝ → (A # 0 ↔ (A < 0 ∨ 0 < A)))
23	22	ad3antrrr 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → (A # 0 ↔ (A < 0 ∨ 0 < A)))
24	20, 23	mpbid 135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → (A < 0 ∨ 0 < A))
25		lenlt 6851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (0 ≤ A ↔ ¬ A < 0))
26	3, 25	mpan 400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℝ → (0 ≤ A ↔ ¬ A < 0))
27	26	biimpa 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) → ¬ A < 0)
28	27	ad2antrr 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → ¬ A < 0)
29		biorf 662	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ A < 0 → (0 < A ↔ (A < 0 ∨ 0 < A)))
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → (0 < A ↔ (A < 0 ∨ 0 < A)))
31	24, 30	mpbird 156	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → 0 < A)
32	19	simprd 107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → B # 0)
33		reaplt 7332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (B # 0 ↔ (B < 0 ∨ 0 < B)))
34	3, 33	mpan2 401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℝ → (B # 0 ↔ (B < 0 ∨ 0 < B)))
35	34	ad2antrl 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → (B # 0 ↔ (B < 0 ∨ 0 < B)))
36	35	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → (B # 0 ↔ (B < 0 ∨ 0 < B)))
37	32, 36	mpbid 135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → (B < 0 ∨ 0 < B))
38		lenlt 6851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (0 ≤ B ↔ ¬ B < 0))
39	3, 38	mpan 400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℝ → (0 ≤ B ↔ ¬ B < 0))
40	39	biimpa 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B) → ¬ B < 0)
41	40	ad2antlr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → ¬ B < 0)
42		biorf 662	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ B < 0 → (0 < B ↔ (B < 0 ∨ 0 < B)))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → (0 < B ↔ (B < 0 ∨ 0 < B)))
44	37, 43	mpbird 156	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → 0 < B)
45	10, 11, 31, 44	mulgt0d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) ∧ (A · B) # 0) → 0 < (A · B))
46	45	ex 108	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → ((A · B) # 0 → 0 < (A · B)))
47	9, 46	syld 40	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → ((A · B) < 0 → 0 < (A · B)))
48	47	ancld 308	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → ((A · B) < 0 → ((A · B) < 0 ∧ 0 < (A · B))))
49	5, 48	mtod 588	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → ¬ (A · B) < 0)
50		lenlt 6851	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (A · B) ∈ ℝ) → (0 ≤ (A · B) ↔ ¬ (A · B) < 0))
51	3, 2, 50	sylancr 393	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → (0 ≤ (A · B) ↔ ¬ (A · B) < 0))
52	49, 51	mpbird 156	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → 0 ≤ (A · B))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6669  ℝcr 6670  0cc0 6671   · cmul 6676   < clt 6817   ≤ cle 6818   # cap 7325

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326

This theorem is referenced by:  mulge0i  7364  mulge0d  7365  ge0mulcl  8581  expge0  8905  bernneq  8982