ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulge0 Unicode version

Theorem mulge0 7610
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulge0  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0
StepHypRef Expression
1 remulcl 7009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
21ad2ant2r 478 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
3 0re 7027 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 ltnsym2 7108 . . . 4  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  -.  ( ( A  x.  B )  <  0  /\  0  < 
( A  x.  B
) ) )
52, 3, 4sylancl 392 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  -.  (
( A  x.  B
)  <  0  /\  0  <  ( A  x.  B ) ) )
6 orc 633 . . . . . 6  |-  ( ( A  x.  B )  <  0  ->  (
( A  x.  B
)  <  0  \/  0  <  ( A  x.  B ) ) )
7 reaplt 7579 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B ) #  0  <->  ( ( A  x.  B )  <  0  \/  0  < 
( A  x.  B
) ) ) )
82, 3, 7sylancl 392 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B ) #  0 
<->  ( ( A  x.  B )  <  0  \/  0  <  ( A  x.  B ) ) ) )
96, 8syl5ibr 145 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B )  <  0  ->  ( A  x.  B ) #  0 ) )
10 simplll 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  A  e.  RR )
11 simplrl 487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  B  e.  RR )
12 recn 7014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
13 recn 7014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
14 mulap0r 7606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( A  x.  B ) #  0 )  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) )
1513, 14syl3an1 1168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC  /\  ( A  x.  B ) #  0 )  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) )
1612, 15syl3an2 1169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  x.  B ) #  0 )  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) )
17163expia 1106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B ) #  0  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) ) )
1817ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B ) #  0  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) ) )
1918imp 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( A #  0  /\  B #  0 ) )
2019simpld 105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  A #  0 )
21 reaplt 7579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A #  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
223, 21mpan2 401 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A #  0  <->  ( A  <  0  \/  0  < 
A ) ) )
2322ad3antrrr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( A #  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
2420, 23mpbid 135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( A  <  0  \/  0  <  A ) )
25 lenlt 7094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
263, 25mpan 400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
2726biimpa 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -.  A  <  0
)
2827ad2antrr 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  -.  A  <  0
)
29 biorf 663 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  <  0  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
3124, 30mpbird 156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
0  <  A )
3219simprd 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  B #  0 )
33 reaplt 7579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B #  0  <->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
343, 33mpan2 401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B #  0  <->  ( B  <  0  \/  0  < 
B ) ) )
3534ad2antrl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B #  0 
<->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
3635adantr 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( B #  0  <->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
3732, 36mpbid 135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( B  <  0  \/  0  <  B ) )
38 lenlt 7094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  -.  B  <  0 ) )
393, 38mpan 400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <_  B  <->  -.  B  <  0 ) )
4039biimpa 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  -.  B  <  0
)
4140ad2antlr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  -.  B  <  0
)
42 biorf 663 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  <  0  -> 
( 0  <  B  <->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
4341, 42syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( 0  <  B  <->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
4437, 43mpbird 156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
0  <  B )
4510, 11, 31, 44mulgt0d 7137 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
4645ex 108 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B ) #  0  ->  0  <  ( A  x.  B )
) )
479, 46syld 40 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B )  <  0  ->  0  <  ( A  x.  B ) ) )
4847ancld 308 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B )  <  0  ->  ( ( A  x.  B )  <  0  /\  0  < 
( A  x.  B
) ) ) )
495, 48mtod 589 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  -.  ( A  x.  B )  <  0 )
50 lenlt 7094 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  x.  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  <->  -.  ( A  x.  B )  <  0
) )
513, 2, 50sylancr 393 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  <->  -.  ( A  x.  B )  <  0 ) )
5249, 51mpbird 156 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    \/ wo 629    e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889    x. cmul 6894    < clt 7060    <_ cle 7061   # cap 7572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573
This theorem is referenced by:  mulge0i  7611  mulge0d  7612  ge0mulcl  8851  expge0  9291  bernneq  9369  sqrtmul  9633  amgm2  9714
  Copyright terms: Public domain W3C validator