Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulexpzap Structured version   GIF version

Theorem mulexpzap 8929
 Description: Integer exponentiation of a product. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulexpzap (((A A # 0) (B B # 0) 𝑁 ℤ) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))

Proof of Theorem mulexpzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 8015 . . 3 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))
2 simpl 102 . . . . . 6 ((A A # 0) → A ℂ)
3 simpl 102 . . . . . 6 ((B B # 0) → B ℂ)
42, 3anim12i 321 . . . . 5 (((A A # 0) (B B # 0)) → (A B ℂ))
5 mulexp 8928 . . . . . 6 ((A B 𝑁 0) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))
653expa 1103 . . . . 5 (((A B ℂ) 𝑁 0) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))
74, 6sylan 267 . . . 4 ((((A A # 0) (B B # 0)) 𝑁 0) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))
8 simplll 485 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → A ℂ)
9 simplrl 487 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → B ℂ)
108, 9mulcld 6825 . . . . . 6 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A · B) ℂ)
11 simpllr 486 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → A # 0)
12 simplrr 488 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → B # 0)
138, 9, 11, 12mulap0d 7401 . . . . . 6 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A · B) # 0)
14 recn 6792 . . . . . . 7 (𝑁 ℝ → 𝑁 ℂ)
1514ad2antrl 459 . . . . . 6 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → 𝑁 ℂ)
16 nnnn0 7944 . . . . . . 7 (-𝑁 ℕ → -𝑁 0)
1716ad2antll 460 . . . . . 6 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑁 0)
18 expineg2 8898 . . . . . 6 ((((A · B) (A · B) # 0) (𝑁 -𝑁 0)) → ((A · B)↑𝑁) = (1 / ((A · B)↑-𝑁)))
1910, 13, 15, 17, 18syl22anc 1135 . . . . 5 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A · B)↑𝑁) = (1 / ((A · B)↑-𝑁)))
20 expineg2 8898 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (𝑁 -𝑁 0)) → (A𝑁) = (1 / (A↑-𝑁)))
218, 11, 15, 17, 20syl22anc 1135 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A𝑁) = (1 / (A↑-𝑁)))
22 expineg2 8898 . . . . . . . 8 (((B B # 0) (𝑁 -𝑁 0)) → (B𝑁) = (1 / (B↑-𝑁)))
239, 12, 15, 17, 22syl22anc 1135 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (B𝑁) = (1 / (B↑-𝑁)))
2421, 23oveq12d 5473 . . . . . 6 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A𝑁) · (B𝑁)) = ((1 / (A↑-𝑁)) · (1 / (B↑-𝑁))))
25 mulexp 8928 . . . . . . . . . 10 ((A B -𝑁 0) → ((A · B)↑-𝑁) = ((A↑-𝑁) · (B↑-𝑁)))
268, 9, 17, 25syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A · B)↑-𝑁) = ((A↑-𝑁) · (B↑-𝑁)))
2726oveq2d 5471 . . . . . . . 8 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (1 / ((A · B)↑-𝑁)) = (1 / ((A↑-𝑁) · (B↑-𝑁))))
28 1t1e1 7825 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
2928oveq1i 5465 . . . . . . . 8 ((1 · 1) / ((A↑-𝑁) · (B↑-𝑁))) = (1 / ((A↑-𝑁) · (B↑-𝑁)))
3027, 29syl6eqr 2087 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (1 / ((A · B)↑-𝑁)) = ((1 · 1) / ((A↑-𝑁) · (B↑-𝑁))))
31 expcl 8907 . . . . . . . . 9 ((A -𝑁 0) → (A↑-𝑁) ℂ)
328, 17, 31syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑-𝑁) ℂ)
33 nnz 8020 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ℕ → -𝑁 ℤ)
3433ad2antll 460 . . . . . . . . 9 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → -𝑁 ℤ)
35 expap0i 8921 . . . . . . . . 9 ((A A # 0 -𝑁 ℤ) → (A↑-𝑁) # 0)
368, 11, 34, 35syl3anc 1134 . . . . . . . 8 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (A↑-𝑁) # 0)
37 expcl 8907 . . . . . . . . 9 ((B -𝑁 0) → (B↑-𝑁) ℂ)
389, 17, 37syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (B↑-𝑁) ℂ)
39 expap0i 8921 . . . . . . . . 9 ((B B # 0 -𝑁 ℤ) → (B↑-𝑁) # 0)
409, 12, 34, 39syl3anc 1134 . . . . . . . 8 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (B↑-𝑁) # 0)
41 ax-1cn 6756 . . . . . . . . 9 1
42 divmuldivap 7450 . . . . . . . . 9 (((1 1 ℂ) (((A↑-𝑁) (A↑-𝑁) # 0) ((B↑-𝑁) (B↑-𝑁) # 0))) → ((1 / (A↑-𝑁)) · (1 / (B↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((A↑-𝑁) · (B↑-𝑁))))
4341, 41, 42mpanl12 412 . . . . . . . 8 ((((A↑-𝑁) (A↑-𝑁) # 0) ((B↑-𝑁) (B↑-𝑁) # 0)) → ((1 / (A↑-𝑁)) · (1 / (B↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((A↑-𝑁) · (B↑-𝑁))))
4432, 36, 38, 40, 43syl22anc 1135 . . . . . . 7 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((1 / (A↑-𝑁)) · (1 / (B↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((A↑-𝑁) · (B↑-𝑁))))
4530, 44eqtr4d 2072 . . . . . 6 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → (1 / ((A · B)↑-𝑁)) = ((1 / (A↑-𝑁)) · (1 / (B↑-𝑁))))
4624, 45eqtr4d 2072 . . . . 5 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A𝑁) · (B𝑁)) = (1 / ((A · B)↑-𝑁)))
4719, 46eqtr4d 2072 . . . 4 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 -𝑁 ℕ)) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))
487, 47jaodan 709 . . 3 ((((A A # 0) (B B # 0)) (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ))) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))
491, 48sylan2b 271 . 2 ((((A A # 0) (B B # 0)) 𝑁 ℤ) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))
50493impa 1098 1 (((A A # 0) (B B # 0) 𝑁 ℤ) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6689  ℝcr 6690  0cc0 6691  1c1 6692   · cmul 6696  -cneg 6960   # cap 7345   / cdiv 7413  ℕcn 7675  ℕ0cn0 7937  ℤcz 8001  ↑cexp 8888 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-iseq 8873  df-iexp 8889 This theorem is referenced by:  exprecap  8930
 Copyright terms: Public domain W3C validator