ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulexp Structured version   GIF version

Theorem mulexp 8948
Description: Positive integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulexp ((A B 𝑁 0) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))

Proof of Theorem mulexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((A · B)↑𝑗) = ((A · B)↑0))
2 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (A𝑗) = (A↑0))
3 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (B𝑗) = (B↑0))
42, 3oveq12d 5473 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((A𝑗) · (B𝑗)) = ((A↑0) · (B↑0)))
51, 4eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((A · B)↑𝑗) = ((A𝑗) · (B𝑗)) ↔ ((A · B)↑0) = ((A↑0) · (B↑0))))
65imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((A B ℂ) → ((A · B)↑𝑗) = ((A𝑗) · (B𝑗))) ↔ ((A B ℂ) → ((A · B)↑0) = ((A↑0) · (B↑0)))))
7 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((A · B)↑𝑗) = ((A · B)↑𝑘))
8 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (A𝑗) = (A𝑘))
9 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (B𝑗) = (B𝑘))
108, 9oveq12d 5473 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((A𝑗) · (B𝑗)) = ((A𝑘) · (B𝑘)))
117, 10eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((A · B)↑𝑗) = ((A𝑗) · (B𝑗)) ↔ ((A · B)↑𝑘) = ((A𝑘) · (B𝑘))))
1211imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((A B ℂ) → ((A · B)↑𝑗) = ((A𝑗) · (B𝑗))) ↔ ((A B ℂ) → ((A · B)↑𝑘) = ((A𝑘) · (B𝑘)))))
13 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A · B)↑𝑗) = ((A · B)↑(𝑘 + 1)))
14 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A𝑗) = (A↑(𝑘 + 1)))
15 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (B𝑗) = (B↑(𝑘 + 1)))
1614, 15oveq12d 5473 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A𝑗) · (B𝑗)) = ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1))))
1713, 16eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((A · B)↑𝑗) = ((A𝑗) · (B𝑗)) ↔ ((A · B)↑(𝑘 + 1)) = ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((A B ℂ) → ((A · B)↑𝑗) = ((A𝑗) · (B𝑗))) ↔ ((A B ℂ) → ((A · B)↑(𝑘 + 1)) = ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1))))))
19 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((A · B)↑𝑗) = ((A · B)↑𝑁))
20 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (A𝑗) = (A𝑁))
21 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (B𝑗) = (B𝑁))
2220, 21oveq12d 5473 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((A𝑗) · (B𝑗)) = ((A𝑁) · (B𝑁)))
2319, 22eqeq12d 2051 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((A · B)↑𝑗) = ((A𝑗) · (B𝑗)) ↔ ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁))))
2423imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((A B ℂ) → ((A · B)↑𝑗) = ((A𝑗) · (B𝑗))) ↔ ((A B ℂ) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))))
25 mulcl 6806 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (A · B) ℂ)
26 exp0 8913 . . . . . 6 ((A · B) ℂ → ((A · B)↑0) = 1)
2725, 26syl 14 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((A · B)↑0) = 1)
28 exp0 8913 . . . . . . 7 (A ℂ → (A↑0) = 1)
29 exp0 8913 . . . . . . 7 (B ℂ → (B↑0) = 1)
3028, 29oveqan12d 5474 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((A↑0) · (B↑0)) = (1 · 1))
31 1t1e1 7845 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
3230, 31syl6eq 2085 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((A↑0) · (B↑0)) = 1)
3327, 32eqtr4d 2072 . . . 4 ((A B ℂ) → ((A · B)↑0) = ((A↑0) · (B↑0)))
34 expp1 8916 . . . . . . . . . 10 (((A · B) 𝑘 0) → ((A · B)↑(𝑘 + 1)) = (((A · B)↑𝑘) · (A · B)))
3525, 34sylan 267 . . . . . . . . 9 (((A B ℂ) 𝑘 0) → ((A · B)↑(𝑘 + 1)) = (((A · B)↑𝑘) · (A · B)))
3635adantr 261 . . . . . . . 8 ((((A B ℂ) 𝑘 0) ((A · B)↑𝑘) = ((A𝑘) · (B𝑘))) → ((A · B)↑(𝑘 + 1)) = (((A · B)↑𝑘) · (A · B)))
37 oveq1 5462 . . . . . . . . 9 (((A · B)↑𝑘) = ((A𝑘) · (B𝑘)) → (((A · B)↑𝑘) · (A · B)) = (((A𝑘) · (B𝑘)) · (A · B)))
38 expcl 8927 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 0) → (A𝑘) ℂ)
39 expcl 8927 . . . . . . . . . . . . 13 ((B 𝑘 0) → (B𝑘) ℂ)
4038, 39anim12i 321 . . . . . . . . . . . 12 (((A 𝑘 0) (B 𝑘 0)) → ((A𝑘) (B𝑘) ℂ))
4140anandirs 527 . . . . . . . . . . 11 (((A B ℂ) 𝑘 0) → ((A𝑘) (B𝑘) ℂ))
42 simpl 102 . . . . . . . . . . 11 (((A B ℂ) 𝑘 0) → (A B ℂ))
43 mul4 6942 . . . . . . . . . . 11 ((((A𝑘) (B𝑘) ℂ) (A B ℂ)) → (((A𝑘) · (B𝑘)) · (A · B)) = (((A𝑘) · A) · ((B𝑘) · B)))
4441, 42, 43syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((A B ℂ) 𝑘 0) → (((A𝑘) · (B𝑘)) · (A · B)) = (((A𝑘) · A) · ((B𝑘) · B)))
45 expp1 8916 . . . . . . . . . . . 12 ((A 𝑘 0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
4645adantlr 446 . . . . . . . . . . 11 (((A B ℂ) 𝑘 0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
47 expp1 8916 . . . . . . . . . . . 12 ((B 𝑘 0) → (B↑(𝑘 + 1)) = ((B𝑘) · B))
4847adantll 445 . . . . . . . . . . 11 (((A B ℂ) 𝑘 0) → (B↑(𝑘 + 1)) = ((B𝑘) · B))
4946, 48oveq12d 5473 . . . . . . . . . 10 (((A B ℂ) 𝑘 0) → ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1))) = (((A𝑘) · A) · ((B𝑘) · B)))
5044, 49eqtr4d 2072 . . . . . . . . 9 (((A B ℂ) 𝑘 0) → (((A𝑘) · (B𝑘)) · (A · B)) = ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1))))
5137, 50sylan9eqr 2091 . . . . . . . 8 ((((A B ℂ) 𝑘 0) ((A · B)↑𝑘) = ((A𝑘) · (B𝑘))) → (((A · B)↑𝑘) · (A · B)) = ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1))))
5236, 51eqtrd 2069 . . . . . . 7 ((((A B ℂ) 𝑘 0) ((A · B)↑𝑘) = ((A𝑘) · (B𝑘))) → ((A · B)↑(𝑘 + 1)) = ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1))))
5352exp31 346 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (𝑘 0 → (((A · B)↑𝑘) = ((A𝑘) · (B𝑘)) → ((A · B)↑(𝑘 + 1)) = ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1))))))
5453com12 27 . . . . 5 (𝑘 0 → ((A B ℂ) → (((A · B)↑𝑘) = ((A𝑘) · (B𝑘)) → ((A · B)↑(𝑘 + 1)) = ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1))))))
5554a2d 23 . . . 4 (𝑘 0 → (((A B ℂ) → ((A · B)↑𝑘) = ((A𝑘) · (B𝑘))) → ((A B ℂ) → ((A · B)↑(𝑘 + 1)) = ((A↑(𝑘 + 1)) · (B↑(𝑘 + 1))))))
566, 12, 18, 24, 33, 55nn0ind 8128 . . 3 (𝑁 0 → ((A B ℂ) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁))))
5756expdcom 1328 . 2 (A ℂ → (B ℂ → (𝑁 0 → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))))
58573imp 1097 1 ((A B 𝑁 0) → ((A · B)↑𝑁) = ((A𝑁) · (B𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716  0cn0 7957  cexp 8908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909
This theorem is referenced by:  mulexpzap  8949  expdivap  8959  expubnd  8965  sqmul  8970  mulexpd  9049
  Copyright terms: Public domain W3C validator