ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulexpzap Unicode version

Theorem mulexpzap 8949
Description: Integer exponentiation of a product. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulexpzap  CC #  0  CC #  0  N  ZZ  x.  ^ N  ^ N  x.  ^ N

Proof of Theorem mulexpzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 8035 . . 3  N  ZZ  N  NN0  N  RR  -u N  NN
2 simpl 102 . . . . . 6  CC #  0  CC
3 simpl 102 . . . . . 6  CC #  0  CC
42, 3anim12i 321 . . . . 5  CC #  0  CC #  0  CC  CC
5 mulexp 8948 . . . . . 6  CC  CC  N  NN0  x.  ^ N  ^ N  x.  ^ N
653expa 1103 . . . . 5  CC  CC  N  NN0  x.  ^ N  ^ N  x.  ^ N
74, 6sylan 267 . . . 4  CC #  0  CC #  0  N  NN0  x.  ^ N  ^ N  x.  ^ N
8 simplll 485 . . . . . . 7  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  CC
9 simplrl 487 . . . . . . 7  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  CC
108, 9mulcld 6845 . . . . . 6  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  x.  CC
11 simpllr 486 . . . . . . 7  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN #  0
12 simplrr 488 . . . . . . 7  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN #  0
138, 9, 11, 12mulap0d 7421 . . . . . 6  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  x. #  0
14 recn 6812 . . . . . . 7  N  RR  N  CC
1514ad2antrl 459 . . . . . 6  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  N  CC
16 nnnn0 7964 . . . . . . 7  -u N  NN  -u N  NN0
1716ad2antll 460 . . . . . 6  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  -u N  NN0
18 expineg2 8918 . . . . . 6  x.  CC  x. #  0  N  CC  -u N  NN0  x.  ^ N  1  x.  ^ -u N
1910, 13, 15, 17, 18syl22anc 1135 . . . . 5  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  x.  ^ N  1  x.  ^ -u N
20 expineg2 8918 . . . . . . . 8  CC #  0  N  CC  -u N  NN0  ^ N  1  ^ -u N
218, 11, 15, 17, 20syl22anc 1135 . . . . . . 7  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  ^ N  1  ^ -u N
22 expineg2 8918 . . . . . . . 8  CC #  0  N  CC  -u N  NN0  ^ N  1  ^ -u N
239, 12, 15, 17, 22syl22anc 1135 . . . . . . 7  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  ^ N  1  ^ -u N
2421, 23oveq12d 5473 . . . . . 6  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  ^ N  x.  ^ N  1  ^ -u N  x. 
1  ^ -u N
25 mulexp 8948 . . . . . . . . . 10  CC  CC  -u N  NN0  x.  ^ -u N  ^ -u N  x.  ^ -u N
268, 9, 17, 25syl3anc 1134 . . . . . . . . 9  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  x.  ^ -u N  ^ -u N  x.  ^ -u N
2726oveq2d 5471 . . . . . . . 8  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN 
1  x.  ^ -u N  1  ^ -u N  x.  ^ -u N
28 1t1e1 7845 . . . . . . . . 9  1  x.  1  1
2928oveq1i 5465 . . . . . . . 8  1  x.  1  ^ -u N  x.  ^ -u N  1  ^ -u N  x.  ^ -u N
3027, 29syl6eqr 2087 . . . . . . 7  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN 
1  x.  ^ -u N  1  x.  1  ^ -u N  x.  ^ -u N
31 expcl 8927 . . . . . . . . 9  CC  -u N  NN0  ^ -u N  CC
328, 17, 31syl2anc 391 . . . . . . . 8  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  ^ -u N  CC
33 nnz 8040 . . . . . . . . . 10  -u N  NN  -u N  ZZ
3433ad2antll 460 . . . . . . . . 9  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  -u N  ZZ
35 expap0i 8941 . . . . . . . . 9  CC #  0  -u N  ZZ  ^ -u N #  0
368, 11, 34, 35syl3anc 1134 . . . . . . . 8  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  ^ -u N #  0
37 expcl 8927 . . . . . . . . 9  CC  -u N  NN0  ^ -u N  CC
389, 17, 37syl2anc 391 . . . . . . . 8  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  ^ -u N  CC
39 expap0i 8941 . . . . . . . . 9  CC #  0  -u N  ZZ  ^ -u N #  0
409, 12, 34, 39syl3anc 1134 . . . . . . . 8  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  ^ -u N #  0
41 ax-1cn 6776 . . . . . . . . 9  1  CC
42 divmuldivap 7470 . . . . . . . . 9  1  CC  1  CC  ^ -u N  CC  ^ -u N #  0  ^ -u N  CC  ^ -u N #  0  1  ^ -u N  x. 
1  ^ -u N  1  x.  1  ^ -u N  x.  ^ -u N
4341, 41, 42mpanl12 412 . . . . . . . 8  ^ -u N  CC  ^ -u N #  0  ^ -u N  CC  ^ -u N #  0  1  ^ -u N  x.  1  ^ -u N  1  x.  1  ^ -u N  x.  ^ -u N
4432, 36, 38, 40, 43syl22anc 1135 . . . . . . 7  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  1  ^ -u N  x.  1  ^ -u N  1  x.  1  ^ -u N  x.  ^ -u N
4530, 44eqtr4d 2072 . . . . . 6  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN 
1  x.  ^ -u N  1  ^ -u N  x. 
1  ^ -u N
4624, 45eqtr4d 2072 . . . . 5  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  ^ N  x.  ^ N  1  x.  ^ -u N
4719, 46eqtr4d 2072 . . . 4  CC #  0  CC #  0  N  RR  -u N  NN  x.  ^ N  ^ N  x.  ^ N
487, 47jaodan 709 . . 3  CC #  0  CC #  0  N  NN0  N  RR  -u N  NN  x.  ^ N  ^ N  x.  ^ N
491, 48sylan2b 271 . 2  CC #  0  CC #  0  N  ZZ  x.  ^ N  ^ N  x.  ^ N
50493impa 1098 1  CC #  0  CC #  0  N  ZZ  x.  ^ N  ^ N  x.  ^ N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711   1c1 6712    x. cmul 6716   -ucneg 6980   # cap 7365   cdiv 7433   NNcn 7695   NN0cn0 7957   ZZcz 8021   ^cexp 8908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909
This theorem is referenced by:  exprecap  8950
  Copyright terms: Public domain W3C validator