Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expclzaplem GIF version

Theorem expclzaplem 8933
 Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 8934 and expap0i 8941. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expclzaplem ((A A # 0 𝑁 ℤ) → (A𝑁) {z ℂ ∣ z # 0})
Distinct variable groups:   z,A   z,𝑁

Proof of Theorem expclzaplem
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3758 . . . . 5 (z = A → (z # 0 ↔ A # 0))
21elrab 2692 . . . 4 (A {z ℂ ∣ z # 0} ↔ (A A # 0))
3 ssrab2 3019 . . . . . 6 {z ℂ ∣ z # 0} ⊆ ℂ
4 breq1 3758 . . . . . . . 8 (z = x → (z # 0 ↔ x # 0))
54elrab 2692 . . . . . . 7 (x {z ℂ ∣ z # 0} ↔ (x x # 0))
6 breq1 3758 . . . . . . . 8 (z = y → (z # 0 ↔ y # 0))
76elrab 2692 . . . . . . 7 (y {z ℂ ∣ z # 0} ↔ (y y # 0))
8 mulcl 6806 . . . . . . . . 9 ((x y ℂ) → (x · y) ℂ)
98ad2ant2r 478 . . . . . . . 8 (((x x # 0) (y y # 0)) → (x · y) ℂ)
10 mulap0 7417 . . . . . . . 8 (((x x # 0) (y y # 0)) → (x · y) # 0)
11 breq1 3758 . . . . . . . . 9 (z = (x · y) → (z # 0 ↔ (x · y) # 0))
1211elrab 2692 . . . . . . . 8 ((x · y) {z ℂ ∣ z # 0} ↔ ((x · y) (x · y) # 0))
139, 10, 12sylanbrc 394 . . . . . . 7 (((x x # 0) (y y # 0)) → (x · y) {z ℂ ∣ z # 0})
145, 7, 13syl2anb 275 . . . . . 6 ((x {z ℂ ∣ z # 0} y {z ℂ ∣ z # 0}) → (x · y) {z ℂ ∣ z # 0})
15 ax-1cn 6776 . . . . . . 7 1
16 1ap0 7374 . . . . . . 7 1 # 0
17 breq1 3758 . . . . . . . 8 (z = 1 → (z # 0 ↔ 1 # 0))
1817elrab 2692 . . . . . . 7 (1 {z ℂ ∣ z # 0} ↔ (1 1 # 0))
1915, 16, 18mpbir2an 848 . . . . . 6 1 {z ℂ ∣ z # 0}
20 recclap 7440 . . . . . . . . 9 ((x x # 0) → (1 / x) ℂ)
21 recap0 7446 . . . . . . . . 9 ((x x # 0) → (1 / x) # 0)
2220, 21jca 290 . . . . . . . 8 ((x x # 0) → ((1 / x) (1 / x) # 0))
23 breq1 3758 . . . . . . . . 9 (z = (1 / x) → (z # 0 ↔ (1 / x) # 0))
2423elrab 2692 . . . . . . . 8 ((1 / x) {z ℂ ∣ z # 0} ↔ ((1 / x) (1 / x) # 0))
2522, 5, 243imtr4i 190 . . . . . . 7 (x {z ℂ ∣ z # 0} → (1 / x) {z ℂ ∣ z # 0})
2625adantr 261 . . . . . 6 ((x {z ℂ ∣ z # 0} x # 0) → (1 / x) {z ℂ ∣ z # 0})
273, 14, 19, 26expcl2lemap 8921 . . . . 5 ((A {z ℂ ∣ z # 0} A # 0 𝑁 ℤ) → (A𝑁) {z ℂ ∣ z # 0})
28273expia 1105 . . . 4 ((A {z ℂ ∣ z # 0} A # 0) → (𝑁 ℤ → (A𝑁) {z ℂ ∣ z # 0}))
292, 28sylanbr 269 . . 3 (((A A # 0) A # 0) → (𝑁 ℤ → (A𝑁) {z ℂ ∣ z # 0}))
3029anabss3 519 . 2 ((A A # 0) → (𝑁 ℤ → (A𝑁) {z ℂ ∣ z # 0}))
31303impia 1100 1 ((A A # 0 𝑁 ℤ) → (A𝑁) {z ℂ ∣ z # 0})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390  {crab 2304   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716   # cap 7365   / cdiv 7433  ℤcz 8021  ↑cexp 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909 This theorem is referenced by:  expclzap  8934  expap0i  8941
 Copyright terms: Public domain W3C validator