ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divclap Structured version   GIF version

Theorem divclap 7391
Description: Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divclap ((A B B # 0) → (A / B) ℂ)

Proof of Theorem divclap
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divvalap 7387 . 2 ((A B B # 0) → (A / B) = (x ℂ (B · x) = A))
2 receuap 7384 . . 3 ((A B B # 0) → ∃!x ℂ (B · x) = A)
3 riotacl 5422 . . 3 (∃!x ℂ (B · x) = A → (x ℂ (B · x) = A) ℂ)
42, 3syl 14 . 2 ((A B B # 0) → (x ℂ (B · x) = A) ℂ)
51, 4eqeltrd 2111 1 ((A B B # 0) → (A / B) ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  ∃!wreu 2302   class class class wbr 3754  crio 5408  (class class class)co 5452  cc 6661  0cc0 6663   · cmul 6668   # cap 7317   / cdiv 7385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752  ax-pre-mulext 6753
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311  df-ap 7318  df-div 7386
This theorem is referenced by:  recclap  7392  divcanap2  7393  divcanap1  7394  divap0b  7396  div23ap  7404  div12ap  7407  div11ap  7411  divsubdirap  7418  divmuldivap  7422  divdivdivap  7423  divcanap5  7424  divmuleqap  7427  divcanap6  7429  divdiv32ap  7430  dmdcanap  7432  ddcanap  7436  divsubdivap  7438  div2negap  7445  divclapzi  7457  divclapi  7464  divclapd  7499  nndivtr  7687  halfcl  7878
  Copyright terms: Public domain W3C validator