Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  div2negap Structured version   GIF version

Theorem div2negap 7445
 Description: Quotient of two negatives. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
div2negap ((A B B # 0) → (-A / -B) = (A / B))

Proof of Theorem div2negap
StepHypRef Expression
1 negcl 6960 . . . . 5 (B ℂ → -B ℂ)
213ad2ant2 925 . . . 4 ((A B B # 0) → -B ℂ)
3 simp1 903 . . . 4 ((A B B # 0) → A ℂ)
4 simp2 904 . . . 4 ((A B B # 0) → B ℂ)
5 simp3 905 . . . 4 ((A B B # 0) → B # 0)
6 div12ap 7407 . . . 4 ((-B A (B B # 0)) → (-B · (A / B)) = (A · (-B / B)))
72, 3, 4, 5, 6syl112anc 1138 . . 3 ((A B B # 0) → (-B · (A / B)) = (A · (-B / B)))
8 divnegap 7417 . . . . . . 7 ((B B B # 0) → -(B / B) = (-B / B))
94, 8syld3an1 1180 . . . . . 6 ((A B B # 0) → -(B / B) = (-B / B))
10 dividap 7412 . . . . . . . 8 ((B B # 0) → (B / B) = 1)
11103adant1 921 . . . . . . 7 ((A B B # 0) → (B / B) = 1)
1211negeqd 6955 . . . . . 6 ((A B B # 0) → -(B / B) = -1)
139, 12eqtr3d 2071 . . . . 5 ((A B B # 0) → (-B / B) = -1)
1413oveq2d 5468 . . . 4 ((A B B # 0) → (A · (-B / B)) = (A · -1))
15 ax-1cn 6728 . . . . . . . 8 1
1615negcli 7027 . . . . . . 7 -1
17 mulcom 6760 . . . . . . 7 ((A -1 ℂ) → (A · -1) = (-1 · A))
1816, 17mpan2 401 . . . . . 6 (A ℂ → (A · -1) = (-1 · A))
19 mulm1 7145 . . . . . 6 (A ℂ → (-1 · A) = -A)
2018, 19eqtrd 2069 . . . . 5 (A ℂ → (A · -1) = -A)
21203ad2ant1 924 . . . 4 ((A B B # 0) → (A · -1) = -A)
2214, 21eqtrd 2069 . . 3 ((A B B # 0) → (A · (-B / B)) = -A)
237, 22eqtrd 2069 . 2 ((A B B # 0) → (-B · (A / B)) = -A)
24 negcl 6960 . . . 4 (A ℂ → -A ℂ)
25243ad2ant1 924 . . 3 ((A B B # 0) → -A ℂ)
26 divclap 7391 . . 3 ((A B B # 0) → (A / B) ℂ)
27 negap0 7364 . . . . 5 (B ℂ → (B # 0 ↔ -B # 0))
2827biimpa 280 . . . 4 ((B B # 0) → -B # 0)
29283adant1 921 . . 3 ((A B B # 0) → -B # 0)
30 divmulap 7388 . . 3 ((-A (A / B) (-B -B # 0)) → ((-A / -B) = (A / B) ↔ (-B · (A / B)) = -A))
3125, 26, 2, 29, 30syl112anc 1138 . 2 ((A B B # 0) → ((-A / -B) = (A / B) ↔ (-B · (A / B)) = -A))
3223, 31mpbird 156 1 ((A B B # 0) → (-A / -B) = (A / B))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  ℂcc 6661  0cc0 6663  1c1 6664   · cmul 6668  -cneg 6932   # cap 7317   / cdiv 7385 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752  ax-pre-mulext 6753 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311  df-ap 7318  df-div 7386 This theorem is referenced by:  divneg2ap  7446  div2negapd  7514
 Copyright terms: Public domain W3C validator