ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divdivdivap Structured version   GIF version

Theorem divdivdivap 7431
Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divdivdivap (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A / B) / (𝐶 / 𝐷)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))

Proof of Theorem divdivdivap
StepHypRef Expression
1 simprrl 491 . . . . . . 7 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → 𝐷 ℂ)
2 simprll 489 . . . . . . 7 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → 𝐶 ℂ)
3 simprlr 490 . . . . . . 7 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → 𝐶 # 0)
4 divclap 7399 . . . . . . 7 ((𝐷 𝐶 𝐶 # 0) → (𝐷 / 𝐶) ℂ)
51, 2, 3, 4syl3anc 1134 . . . . . 6 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐷 / 𝐶) ℂ)
6 simpll 481 . . . . . . 7 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → A ℂ)
7 simplrl 487 . . . . . . 7 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → B ℂ)
8 simplrr 488 . . . . . . 7 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → B # 0)
9 divclap 7399 . . . . . . 7 ((A B B # 0) → (A / B) ℂ)
106, 7, 8, 9syl3anc 1134 . . . . . 6 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (A / B) ℂ)
115, 10mulcomd 6806 . . . . 5 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (A / B)) = ((A / B) · (𝐷 / 𝐶)))
12 simplr 482 . . . . . 6 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (B B # 0))
13 simprl 483 . . . . . 6 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐶 𝐶 # 0))
14 divmuldivap 7430 . . . . . 6 (((A 𝐷 ℂ) ((B B # 0) (𝐶 𝐶 # 0))) → ((A / B) · (𝐷 / 𝐶)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))
156, 1, 12, 13, 14syl22anc 1135 . . . . 5 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A / B) · (𝐷 / 𝐶)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))
1611, 15eqtrd 2069 . . . 4 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (A / B)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))
1716oveq2d 5471 . . 3 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (A / B))) = ((𝐶 / 𝐷) · ((A · 𝐷) / (B · 𝐶))))
18 simprr 484 . . . . . . 7 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐷 𝐷 # 0))
19 divmuldivap 7430 . . . . . . 7 (((𝐶 𝐷 ℂ) ((𝐷 𝐷 # 0) (𝐶 𝐶 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
202, 1, 18, 13, 19syl22anc 1135 . . . . . 6 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
212, 1mulcomd 6806 . . . . . . . 8 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
2221oveq1d 5470 . . . . . . 7 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)))
231, 2mulcld 6805 . . . . . . . 8 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐷 · 𝐶) ℂ)
24 simprrr 492 . . . . . . . . 9 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → 𝐷 # 0)
251, 2, 24, 3mulap0d 7381 . . . . . . . 8 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐷 · 𝐶) # 0)
26 dividap 7420 . . . . . . . 8 (((𝐷 · 𝐶) (𝐷 · 𝐶) # 0) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
2723, 25, 26syl2anc 391 . . . . . . 7 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
2822, 27eqtrd 2069 . . . . . 6 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
2920, 28eqtrd 2069 . . . . 5 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = 1)
3029oveq1d 5470 . . . 4 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (A / B)) = (1 · (A / B)))
31 divclap 7399 . . . . . 6 ((𝐶 𝐷 𝐷 # 0) → (𝐶 / 𝐷) ℂ)
322, 1, 24, 31syl3anc 1134 . . . . 5 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐶 / 𝐷) ℂ)
3332, 5, 10mulassd 6808 . . . 4 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (A / B)) = ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (A / B))))
3410mulid2d 6803 . . . 4 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (1 · (A / B)) = (A / B))
3530, 33, 343eqtr3d 2077 . . 3 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (A / B))) = (A / B))
3617, 35eqtr3d 2071 . 2 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((A · 𝐷) / (B · 𝐶))) = (A / B))
376, 1mulcld 6805 . . . 4 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (A · 𝐷) ℂ)
387, 2mulcld 6805 . . . 4 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (B · 𝐶) ℂ)
39 mulap0 7377 . . . . 5 (((B B # 0) (𝐶 𝐶 # 0)) → (B · 𝐶) # 0)
4039ad2ant2lr 479 . . . 4 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (B · 𝐶) # 0)
41 divclap 7399 . . . 4 (((A · 𝐷) (B · 𝐶) (B · 𝐶) # 0) → ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ℂ)
4237, 38, 40, 41syl3anc 1134 . . 3 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ℂ)
43 divap0 7405 . . . 4 (((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0)) → (𝐶 / 𝐷) # 0)
4443adantl 262 . . 3 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐶 / 𝐷) # 0)
45 divmulap 7396 . . 3 (((A / B) ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ((𝐶 / 𝐷) (𝐶 / 𝐷) # 0)) → (((A / B) / (𝐶 / 𝐷)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((A · 𝐷) / (B · 𝐶))) = (A / B)))
4610, 42, 32, 44, 45syl112anc 1138 . 2 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((A / B) / (𝐶 / 𝐷)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((A · 𝐷) / (B · 𝐶))) = (A / B)))
4736, 46mpbird 156 1 (((A (B B # 0)) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A / B) / (𝐶 / 𝐷)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671  1c1 6672   · cmul 6676   # cap 7325   / cdiv 7393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394
This theorem is referenced by:  recdivap  7436  divcanap7  7439  divdivap1  7441  divdivap2  7442  divdivdivapi  7493  qreccl  8311
  Copyright terms: Public domain W3C validator