ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  receuap Structured version   GIF version

Theorem receuap 7384
Description: Existential uniqueness of reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
receuap ((A B B # 0) → ∃!x ℂ (B · x) = A)
Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem receuap
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexap 7368 . . . 4 ((B B # 0) → y ℂ (B · y) = 1)
213adant1 921 . . 3 ((A B B # 0) → y ℂ (B · y) = 1)
3 simprl 483 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → y ℂ)
4 simpll 481 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → A ℂ)
53, 4mulcld 6797 . . . . . 6 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → (y · A) ℂ)
6 oveq1 5459 . . . . . . . 8 ((B · y) = 1 → ((B · y) · A) = (1 · A))
76ad2antll 460 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → ((B · y) · A) = (1 · A))
8 simplr 482 . . . . . . . 8 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → B ℂ)
98, 3, 4mulassd 6800 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → ((B · y) · A) = (B · (y · A)))
104mulid2d 6795 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → (1 · A) = A)
117, 9, 103eqtr3d 2077 . . . . . 6 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → (B · (y · A)) = A)
12 oveq2 5460 . . . . . . . 8 (x = (y · A) → (B · x) = (B · (y · A)))
1312eqeq1d 2045 . . . . . . 7 (x = (y · A) → ((B · x) = A ↔ (B · (y · A)) = A))
1413rspcev 2650 . . . . . 6 (((y · A) (B · (y · A)) = A) → x ℂ (B · x) = A)
155, 11, 14syl2anc 391 . . . . 5 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → x ℂ (B · x) = A)
1615rexlimdvaa 2428 . . . 4 ((A B ℂ) → (y ℂ (B · y) = 1 → x ℂ (B · x) = A))
17163adant3 923 . . 3 ((A B B # 0) → (y ℂ (B · y) = 1 → x ℂ (B · x) = A))
182, 17mpd 13 . 2 ((A B B # 0) → x ℂ (B · x) = A)
19 eqtr3 2056 . . . . . . 7 (((B · x) = A (B · y) = A) → (B · x) = (B · y))
20 mulcanap 7380 . . . . . . 7 ((x y (B B # 0)) → ((B · x) = (B · y) ↔ x = y))
2119, 20syl5ib 143 . . . . . 6 ((x y (B B # 0)) → (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y))
22213expa 1103 . . . . 5 (((x y ℂ) (B B # 0)) → (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y))
2322expcom 109 . . . 4 ((B B # 0) → ((x y ℂ) → (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y)))
24233adant1 921 . . 3 ((A B B # 0) → ((x y ℂ) → (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y)))
2524ralrimivv 2394 . 2 ((A B B # 0) → x y ℂ (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y))
26 oveq2 5460 . . . 4 (x = y → (B · x) = (B · y))
2726eqeq1d 2045 . . 3 (x = y → ((B · x) = A ↔ (B · y) = A))
2827reu4 2729 . 2 (∃!x ℂ (B · x) = A ↔ (x ℂ (B · x) = A x y ℂ (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y)))
2918, 25, 28sylanbrc 394 1 ((A B B # 0) → ∃!x ℂ (B · x) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  ∃!wreu 2302   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  cc 6661  0cc0 6663  1c1 6664   · cmul 6668   # cap 7317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752  ax-pre-mulext 6753
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311  df-ap 7318
This theorem is referenced by:  divvalap  7387  divmulap  7388  divclap  7391
  Copyright terms: Public domain W3C validator