Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  receuap Structured version   GIF version

Theorem receuap 7412
 Description: Existential uniqueness of reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
receuap ((A B B # 0) → ∃!x ℂ (B · x) = A)
Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem receuap
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexap 7396 . . . 4 ((B B # 0) → y ℂ (B · y) = 1)
213adant1 921 . . 3 ((A B B # 0) → y ℂ (B · y) = 1)
3 simprl 483 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → y ℂ)
4 simpll 481 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → A ℂ)
53, 4mulcld 6825 . . . . . 6 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → (y · A) ℂ)
6 oveq1 5462 . . . . . . . 8 ((B · y) = 1 → ((B · y) · A) = (1 · A))
76ad2antll 460 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → ((B · y) · A) = (1 · A))
8 simplr 482 . . . . . . . 8 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → B ℂ)
98, 3, 4mulassd 6828 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → ((B · y) · A) = (B · (y · A)))
104mulid2d 6823 . . . . . . 7 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → (1 · A) = A)
117, 9, 103eqtr3d 2077 . . . . . 6 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → (B · (y · A)) = A)
12 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (x = (y · A) → (B · x) = (B · (y · A)))
1312eqeq1d 2045 . . . . . . 7 (x = (y · A) → ((B · x) = A ↔ (B · (y · A)) = A))
1413rspcev 2650 . . . . . 6 (((y · A) (B · (y · A)) = A) → x ℂ (B · x) = A)
155, 11, 14syl2anc 391 . . . . 5 (((A B ℂ) (y (B · y) = 1)) → x ℂ (B · x) = A)
1615rexlimdvaa 2428 . . . 4 ((A B ℂ) → (y ℂ (B · y) = 1 → x ℂ (B · x) = A))
17163adant3 923 . . 3 ((A B B # 0) → (y ℂ (B · y) = 1 → x ℂ (B · x) = A))
182, 17mpd 13 . 2 ((A B B # 0) → x ℂ (B · x) = A)
19 eqtr3 2056 . . . . . . 7 (((B · x) = A (B · y) = A) → (B · x) = (B · y))
20 mulcanap 7408 . . . . . . 7 ((x y (B B # 0)) → ((B · x) = (B · y) ↔ x = y))
2119, 20syl5ib 143 . . . . . 6 ((x y (B B # 0)) → (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y))
22213expa 1103 . . . . 5 (((x y ℂ) (B B # 0)) → (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y))
2322expcom 109 . . . 4 ((B B # 0) → ((x y ℂ) → (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y)))
24233adant1 921 . . 3 ((A B B # 0) → ((x y ℂ) → (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y)))
2524ralrimivv 2394 . 2 ((A B B # 0) → x y ℂ (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y))
26 oveq2 5463 . . . 4 (x = y → (B · x) = (B · y))
2726eqeq1d 2045 . . 3 (x = y → ((B · x) = A ↔ (B · y) = A))
2827reu4 2729 . 2 (∃!x ℂ (B · x) = A ↔ (x ℂ (B · x) = A x y ℂ (((B · x) = A (B · y) = A) → x = y)))
2918, 25, 28sylanbrc 394 1 ((A B B # 0) → ∃!x ℂ (B · x) = A)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  ∃!wreu 2302   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6689  0cc0 6691  1c1 6692   · cmul 6696   # cap 7345 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346 This theorem is referenced by:  divvalap  7415  divmulap  7416  divclap  7419
 Copyright terms: Public domain W3C validator