Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemnmsq GIF version

Theorem resqrexlemnmsq 9615
 Description: Lemma for resqrex 9624. The difference between the squares of two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 30-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm (𝜑𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemnmsq (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnmsq
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 9605 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5 resqrexlemnmsq.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
64, 5ffvelrnd 5303 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 8622 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
87resqcld 9406 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
98recnd 7054 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10 resqrexlemnmsq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
114, 10ffvelrnd 5303 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ+)
1211rpred 8622 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
1312resqcld 9406 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℝ)
1413recnd 7054 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℂ)
152recnd 7054 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
169, 14, 15nnncan2d 7357 . 2 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)))
178, 2resubcld 7379 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
1813, 2resubcld 7379 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
1917, 18resubcld 7379 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20 1nn 7925 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
2120a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
224, 21ffvelrnd 5303 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
23 2z 8273 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2423a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
2522, 24rpexpcld 9404 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
26 4nn 8079 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
2827nnrpd 8621 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
295nnzd 8359 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
30 1zzd 8272 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3129, 30zsubcld 8365 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3228, 31rpexpcld 9404 . . . . 5 (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
3325, 32rpdivcld 8640 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
3433rpred 8622 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
351, 2, 3resqrexlemover 9608 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2))
3610, 35mpdan 398 . . . . 5 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2))
37 difrp 8619 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2) ↔ (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
382, 13, 37syl2anc 391 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2) ↔ (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
3936, 38mpbid 135 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
4017, 39ltsubrpd 8655 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴))
411, 2, 3resqrexlemcalc3 9614 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
425, 41mpdan 398 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
4319, 17, 34, 40, 42ltletrd 7420 . 2 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
4416, 43eqbrtrrd 3786 1 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512   ↦ cmpt2 5514  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182   / cdiv 7651  ℕcn 7914  2c2 7964  4c4 7966  ℤcz 8245  ℝ+crp 8583  seqcseq 9211  ↑cexp 9254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255 This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  9616
 Copyright terms: Public domain W3C validator