Theorem resqrexlemnmsq 9615

Description: Lemma for resqrex 9624. The difference between the squares of two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 30-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnmsq	⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnmsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 9605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	4, 5	ffvelrnd 5303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 8622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 9406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 7054	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10		resqrexlemnmsq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	4, 10	ffvelrnd 5303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 8622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
13	12	resqcld 9406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ)
14	13	recnd 7054	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℂ)
15	2	recnd 7054	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	9, 14, 15	nnncan2d 7357	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)))
17	8, 2	resubcld 7379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
18	13, 2	resubcld 7379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20		1nn 7925	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
22	4, 21	ffvelrnd 5303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
23		2z 8273	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
25	22, 24	rpexpcld 9404	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
26		4nn 8079	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 8621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
29	5	nnzd 8359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		1zzd 8272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31	29, 30	zsubcld 8365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
32	28, 31	rpexpcld 9404	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
33	25, 32	rpdivcld 8640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 8622	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
35	1, 2, 3	resqrexlemover 9608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
36	10, 35	mpdan 398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
37		difrp 8619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
38	2, 13, 37	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
39	36, 38	mpbid 135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
40	17, 39	ltsubrpd 8655	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴))
41	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 9614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
42	5, 41	mpdan 398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
43	19, 17, 34, 40, 42	ltletrd 7420	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
44	16, 43	eqbrtrrd 3786	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512   ↦ cmpt2 5514  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182   / cdiv 7651  ℕcn 7914  2c2 7964  4c4 7966  ℤcz 8245  ℝ⁺crp 8583  seqcseq 9211  ↑cexp 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  9616