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Theorem resqrexlemover 9582
Description: Lemma for resqrex 9598. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
21oveq1d 5527 . . . . 5 (𝑤 = 1 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
32breq2d 3776 . . . 4 (𝑤 = 1 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘1)↑2)))
43imbi2d 219 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))))
5 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
65oveq1d 5527 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
76breq2d 3776 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)))
87imbi2d 219 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2))))
9 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
109oveq1d 5527 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
1110breq2d 3776 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
1211imbi2d 219 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
13 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
1413oveq1d 5527 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑁)↑2))
1514breq2d 3776 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2)))
1615imbi2d 219 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑤)↑2)) ↔ (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))))
17 resqrexlemex.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1817resqcld 9380 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19 2re 7983 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2019a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
2120, 17remulcld 7054 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2218, 21readdcld 7053 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 7040 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 7053 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
2517recnd 7052 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2625mulid2d 7043 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
28 1le2 8131 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
29 lemul1a 7822 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 1 ≤ 2) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3028, 29mpan2 401 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1139 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐴))
3226, 31eqbrtrrd 3786 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ (2 · 𝐴))
3317sqge0d 9381 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
3421, 18addge02d 7523 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴↑2) ↔ (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴))))
3533, 34mpbid 135 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
3617, 21, 22, 32, 35letrd 7136 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≤ ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)))
3722ltp1d 7894 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 7137 . . . 4 (𝜑𝐴 < (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
4039, 17, 27resqrexlemf1 9580 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
41 1cnd 7041 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4241, 25addcomd 7162 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
4340, 42eqtrd 2072 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐴 + 1))
4443oveq1d 5527 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = ((𝐴 + 1)↑2))
45 binom21 9337 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4625, 45syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4744, 46eqtrd 2072 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · 𝐴)) + 1))
4838, 47breqtrrd 3790 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐹‘1)↑2))
4939, 17, 27resqrexlemf 9579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5049ffvelrnda 5302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5150rpred 8620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5217adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5352, 50rerpdivcld 8652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5451, 53resubcld 7377 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5554adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
5655resqcld 9380 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℝ)
57 4re 7990 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
5857a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 4 ∈ ℝ)
5951resqcld 9380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
6059, 52resubcld 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
6160adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
6251adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6352, 59posdifd 7521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) ↔ 0 < (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴)))
6463biimpa 280 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴))
6550rpgt0d 8623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹𝑘))
6665adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (𝐹𝑘))
6761, 62, 64, 66divgt0d 7899 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)))
6851recnd 7052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6968sqcld 9353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
7069adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
7125adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7271adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7368adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7450rpap0d 8626 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) # 0)
7574adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐹𝑘) # 0)
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 7802 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)) = ((((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
7773sqvald 9352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘)↑2) = ((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)))
7877oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) = (((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
7973, 73, 75divcanap3d 7768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘) · (𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8078, 79eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
8180oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) / (𝐹𝑘)) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) = ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8276, 81eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8367, 82breqtrd 3788 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))))
8455, 83gt0ap0d 7617 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) # 0)
8555, 84sqgt0apd 9382 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2))
86 4pos 8011 . . . . . . . . . 10 0 < 4
8786a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < 4)
8856, 58, 85, 87divgt0d 7899 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 0 < ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4))
8957, 86gt0ap0ii 7616 . . . . . . . . . . 11 4 # 0
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 4 # 0)
9156, 58, 90redivclapd 7806 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) ∈ ℝ)
9252adantr 261 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9391, 92ltaddpos2d 7519 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (0 < ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
9488, 93mpbid 135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
9539, 17, 27resqrexlemfp1 9581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
9695oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2)↑2))
9751, 53readdcld 7053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
9897recnd 7052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
99 2cnd 7986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
100 2ap0 8007 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 # 0
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 # 0)
10298, 99, 101sqdivapd 9368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2)↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)))
10396, 102eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)))
104 sq2 9323 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑2) = 4
105104oveq2i 5523 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4)
106103, 105syl6eq 2088 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4))
10771, 68, 74divcanap2d 7765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))) = 𝐴)
108107oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘)))) = (2 · 𝐴))
109108oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) = (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
110109oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
111110oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
11253recnd 7052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
113 binom2sub 9338 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
11468, 112, 113syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
115114oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
116 binom2 9336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
11768, 112, 116syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
118108oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) = (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
119118oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · ((𝐹𝑘) · (𝐴 / (𝐹𝑘))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
120117, 119eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
12199, 71mulcld 7045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
122121negcld 7307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -(2 · 𝐴) ∈ ℂ)
123 4cn 7991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℂ
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
125124, 71mulcld 7045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
12669, 122, 125addassd 7047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))))
12769, 121negsubd 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)))
128127oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + -(2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
129 2cn 7984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
130129negcli 7277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -2 ∈ ℂ
131130, 129, 129addassi 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = (-2 + (2 + 2))
132129subidi 7280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 − 2) = 0
133132negeqi 7203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 − 2) = -0
134129, 129negsubdii 7294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(2 − 2) = (-2 + 2)
135 neg0 7255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -0 = 0
136133, 134, 1353eqtr3i 2068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-2 + 2) = 0
137136oveq1i 5522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-2 + 2) + 2) = (0 + 2)
138129addid2i 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 + 2) = 2
139137, 138eqtri 2060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-2 + 2) + 2) = 2
140 2p2e4 8035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 2) = 4
141140oveq2i 5523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-2 + (2 + 2)) = (-2 + 4)
142131, 139, 1413eqtr3ri 2069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-2 + 4) = 2
143142oveq1i 5522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-2 + 4) · 𝐴) = (2 · 𝐴)
144130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
145144, 124, 71adddird 7050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
14699, 71mulneg1d 7406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
147146oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
148145, 147eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-2 + 4) · 𝐴) = (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)))
149143, 148syl5reqr 2087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
150149oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (-(2 · 𝐴) + (4 · 𝐴))) = (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)))
151126, 128, 1503eqtr3rd 2081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) = ((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)))
152151oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)))
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
154153, 52remulcld 7054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
15559, 154resubcld 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
157156, 52remulcld 7054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ)
15853resqcld 9380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2) ∈ ℝ)
159 recn 7012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ ℝ → 𝑓 ∈ ℂ)
160 recn 7012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ ℝ → 𝑔 ∈ ℂ)
161 addcom 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
162159, 160, 161syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
163162adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 + 𝑔) = (𝑔 + 𝑓))
164 recn 7012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ ℝ → ∈ ℂ)
165 addass 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ ∧ ∈ ℂ) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
166159, 160, 164, 165syl3an 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ∈ ℝ) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
167166adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ ∈ ℝ)) → ((𝑓 + 𝑔) + ) = (𝑓 + (𝑔 + )))
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 5681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
169120, 152, 1683eqtrd 2076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = (((((𝐹𝑘)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑘))↑2)) + (4 · 𝐴)))
170111, 115, 1693eqtr4rd 2083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) = ((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)))
171170oveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
172106, 171eqtrd 2072 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4))
17368, 112subcld 7320 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℂ)
174173sqcld 9353 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) ∈ ℂ)
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 # 0)
176174, 125, 124, 175divdirapd 7801 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) + (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)))
17771, 124, 175divcanap3d 7768 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
178177oveq2d 5528 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + ((4 · 𝐴) / 4)) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
179172, 176, 1783eqtrd 2076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) = (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴))
180179breq2d 3776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
181180adantr 261 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ↔ 𝐴 < (((((𝐹𝑘) − (𝐴 / (𝐹𝑘)))↑2) / 4) + 𝐴)))
18294, 181mpbird 156 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
183182ex 108 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2)))
184183expcom 109 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2) → 𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
185184a2d 23 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2)) → (𝜑𝐴 < ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))))
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 7928 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2)))
187186impcom 116 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343  cfv 4902  (class class class)co 5512  cmpt2 5514  cc 6885  cr 6886  0cc0 6887  1c1 6888   + caddc 6890   · cmul 6892   < clt 7058  cle 7059  cmin 7180  -cneg 7181   # cap 7570   / cdiv 7649  cn 7912  2c2 7962  4c4 7964  +crp 8581  seqcseq 9185  cexp 9228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-inn 7913  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-rp 8582  df-iseq 9186  df-iexp 9229
This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  9583  resqrexlemcalc2  9587  resqrexlemnmsq  9589  resqrexlemga  9595
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