ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsub Structured version   GIF version

Theorem nnsub 7713
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub ((A B ℕ) → (A < B ↔ (BA) ℕ))

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables z x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3759 . . . . . 6 (x = 1 → (z < xz < 1))
2 oveq1 5462 . . . . . . 7 (x = 1 → (xz) = (1 − z))
32eleq1d 2103 . . . . . 6 (x = 1 → ((xz) ℕ ↔ (1 − z) ℕ))
41, 3imbi12d 223 . . . . 5 (x = 1 → ((z < x → (xz) ℕ) ↔ (z < 1 → (1 − z) ℕ)))
54ralbidv 2320 . . . 4 (x = 1 → (z ℕ (z < x → (xz) ℕ) ↔ z ℕ (z < 1 → (1 − z) ℕ)))
6 breq2 3759 . . . . . 6 (x = y → (z < xz < y))
7 oveq1 5462 . . . . . . 7 (x = y → (xz) = (yz))
87eleq1d 2103 . . . . . 6 (x = y → ((xz) ℕ ↔ (yz) ℕ))
96, 8imbi12d 223 . . . . 5 (x = y → ((z < x → (xz) ℕ) ↔ (z < y → (yz) ℕ)))
109ralbidv 2320 . . . 4 (x = y → (z ℕ (z < x → (xz) ℕ) ↔ z ℕ (z < y → (yz) ℕ)))
11 breq2 3759 . . . . . 6 (x = (y + 1) → (z < xz < (y + 1)))
12 oveq1 5462 . . . . . . 7 (x = (y + 1) → (xz) = ((y + 1) − z))
1312eleq1d 2103 . . . . . 6 (x = (y + 1) → ((xz) ℕ ↔ ((y + 1) − z) ℕ))
1411, 13imbi12d 223 . . . . 5 (x = (y + 1) → ((z < x → (xz) ℕ) ↔ (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ)))
1514ralbidv 2320 . . . 4 (x = (y + 1) → (z ℕ (z < x → (xz) ℕ) ↔ z ℕ (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ)))
16 breq2 3759 . . . . . 6 (x = B → (z < xz < B))
17 oveq1 5462 . . . . . . 7 (x = B → (xz) = (Bz))
1817eleq1d 2103 . . . . . 6 (x = B → ((xz) ℕ ↔ (Bz) ℕ))
1916, 18imbi12d 223 . . . . 5 (x = B → ((z < x → (xz) ℕ) ↔ (z < B → (Bz) ℕ)))
2019ralbidv 2320 . . . 4 (x = B → (z ℕ (z < x → (xz) ℕ) ↔ z ℕ (z < B → (Bz) ℕ)))
21 nnnlt1 7701 . . . . . 6 (z ℕ → ¬ z < 1)
2221pm2.21d 549 . . . . 5 (z ℕ → (z < 1 → (1 − z) ℕ))
2322rgen 2368 . . . 4 z ℕ (z < 1 → (1 − z) ℕ)
24 breq1 3758 . . . . . . 7 (z = x → (z < yx < y))
25 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (z = x → (yz) = (yx))
2625eleq1d 2103 . . . . . . 7 (z = x → ((yz) ℕ ↔ (yx) ℕ))
2724, 26imbi12d 223 . . . . . 6 (z = x → ((z < y → (yz) ℕ) ↔ (x < y → (yx) ℕ)))
2827cbvralv 2527 . . . . 5 (z ℕ (z < y → (yz) ℕ) ↔ x ℕ (x < y → (yx) ℕ))
29 nncn 7683 . . . . . . . . . . . . 13 (y ℕ → y ℂ)
3029adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((y z ℕ) → y ℂ)
31 ax-1cn 6756 . . . . . . . . . . . 12 1
32 pncan 6994 . . . . . . . . . . . 12 ((y 1 ℂ) → ((y + 1) − 1) = y)
3330, 31, 32sylancl 392 . . . . . . . . . . 11 ((y z ℕ) → ((y + 1) − 1) = y)
34 simpl 102 . . . . . . . . . . 11 ((y z ℕ) → y ℕ)
3533, 34eqeltrd 2111 . . . . . . . . . 10 ((y z ℕ) → ((y + 1) − 1) ℕ)
36 oveq2 5463 . . . . . . . . . . 11 (z = 1 → ((y + 1) − z) = ((y + 1) − 1))
3736eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10 (z = 1 → (((y + 1) − z) ℕ ↔ ((y + 1) − 1) ℕ))
3835, 37syl5ibrcom 146 . . . . . . . . 9 ((y z ℕ) → (z = 1 → ((y + 1) − z) ℕ))
3938a1dd 42 . . . . . . . 8 ((y z ℕ) → (z = 1 → (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ)))
4039a1dd 42 . . . . . . 7 ((y z ℕ) → (z = 1 → (x ℕ (x < y → (yx) ℕ) → (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ))))
41 breq1 3758 . . . . . . . . . 10 (x = (z − 1) → (x < y ↔ (z − 1) < y))
42 oveq2 5463 . . . . . . . . . . 11 (x = (z − 1) → (yx) = (y − (z − 1)))
4342eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10 (x = (z − 1) → ((yx) ℕ ↔ (y − (z − 1)) ℕ))
4441, 43imbi12d 223 . . . . . . . . 9 (x = (z − 1) → ((x < y → (yx) ℕ) ↔ ((z − 1) < y → (y − (z − 1)) ℕ)))
4544rspcv 2646 . . . . . . . 8 ((z − 1) ℕ → (x ℕ (x < y → (yx) ℕ) → ((z − 1) < y → (y − (z − 1)) ℕ)))
46 nnre 7682 . . . . . . . . . . 11 (z ℕ → z ℝ)
47 nnre 7682 . . . . . . . . . . 11 (y ℕ → y ℝ)
48 1re 6804 . . . . . . . . . . . 12 1
49 ltsubadd 7202 . . . . . . . . . . . 12 ((z 1 y ℝ) → ((z − 1) < yz < (y + 1)))
5048, 49mp3an2 1219 . . . . . . . . . . 11 ((z y ℝ) → ((z − 1) < yz < (y + 1)))
5146, 47, 50syl2anr 274 . . . . . . . . . 10 ((y z ℕ) → ((z − 1) < yz < (y + 1)))
52 nncn 7683 . . . . . . . . . . . 12 (z ℕ → z ℂ)
53 subsub3 7019 . . . . . . . . . . . . 13 ((y z 1 ℂ) → (y − (z − 1)) = ((y + 1) − z))
5431, 53mp3an3 1220 . . . . . . . . . . . 12 ((y z ℂ) → (y − (z − 1)) = ((y + 1) − z))
5529, 52, 54syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 ((y z ℕ) → (y − (z − 1)) = ((y + 1) − z))
5655eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10 ((y z ℕ) → ((y − (z − 1)) ℕ ↔ ((y + 1) − z) ℕ))
5751, 56imbi12d 223 . . . . . . . . 9 ((y z ℕ) → (((z − 1) < y → (y − (z − 1)) ℕ) ↔ (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ)))
5857biimpd 132 . . . . . . . 8 ((y z ℕ) → (((z − 1) < y → (y − (z − 1)) ℕ) → (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ)))
5945, 58syl9r 67 . . . . . . 7 ((y z ℕ) → ((z − 1) ℕ → (x ℕ (x < y → (yx) ℕ) → (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ))))
60 nn1m1nn 7693 . . . . . . . 8 (z ℕ → (z = 1 (z − 1) ℕ))
6160adantl 262 . . . . . . 7 ((y z ℕ) → (z = 1 (z − 1) ℕ))
6240, 59, 61mpjaod 637 . . . . . 6 ((y z ℕ) → (x ℕ (x < y → (yx) ℕ) → (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ)))
6362ralrimdva 2393 . . . . 5 (y ℕ → (x ℕ (x < y → (yx) ℕ) → z ℕ (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ)))
6428, 63syl5bi 141 . . . 4 (y ℕ → (z ℕ (z < y → (yz) ℕ) → z ℕ (z < (y + 1) → ((y + 1) − z) ℕ)))
655, 10, 15, 20, 23, 64nnind 7691 . . 3 (B ℕ → z ℕ (z < B → (Bz) ℕ))
66 breq1 3758 . . . . 5 (z = A → (z < BA < B))
67 oveq2 5463 . . . . . 6 (z = A → (Bz) = (BA))
6867eleq1d 2103 . . . . 5 (z = A → ((Bz) ℕ ↔ (BA) ℕ))
6966, 68imbi12d 223 . . . 4 (z = A → ((z < B → (Bz) ℕ) ↔ (A < B → (BA) ℕ)))
7069rspcva 2648 . . 3 ((A z ℕ (z < B → (Bz) ℕ)) → (A < B → (BA) ℕ))
7165, 70sylan2 270 . 2 ((A B ℕ) → (A < B → (BA) ℕ))
72 nngt0 7700 . . 3 ((BA) ℕ → 0 < (BA))
73 nnre 7682 . . . 4 (A ℕ → A ℝ)
74 nnre 7682 . . . 4 (B ℕ → B ℝ)
75 posdif 7225 . . . 4 ((A B ℝ) → (A < B ↔ 0 < (BA)))
7673, 74, 75syl2an 273 . . 3 ((A B ℕ) → (A < B ↔ 0 < (BA)))
7772, 76syl5ibr 145 . 2 ((A B ℕ) → ((BA) ℕ → A < B))
7871, 77impbid 120 1 ((A B ℕ) → (A < B ↔ (BA) ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6689  cr 6690  0cc0 6691  1c1 6692   + caddc 6694   < clt 6837  cmin 6959  cn 7675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676
This theorem is referenced by:  nnsubi  7714  uz3m2nn  8271
  Copyright terms: Public domain W3C validator