ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn1m1nn Structured version   GIF version

Theorem nn1m1nn 7673
Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn1m1nn (A ℕ → (A = 1 (A − 1) ℕ))

Proof of Theorem nn1m1nn
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 632 . . 3 (x = 1 → (x = 1 (x − 1) ℕ))
2 1cnd 6801 . . 3 (x = 1 → 1 ℂ)
31, 22thd 164 . 2 (x = 1 → ((x = 1 (x − 1) ℕ) ↔ 1 ℂ))
4 eqeq1 2043 . . 3 (x = y → (x = 1 ↔ y = 1))
5 oveq1 5462 . . . 4 (x = y → (x − 1) = (y − 1))
65eleq1d 2103 . . 3 (x = y → ((x − 1) ℕ ↔ (y − 1) ℕ))
74, 6orbi12d 706 . 2 (x = y → ((x = 1 (x − 1) ℕ) ↔ (y = 1 (y − 1) ℕ)))
8 eqeq1 2043 . . 3 (x = (y + 1) → (x = 1 ↔ (y + 1) = 1))
9 oveq1 5462 . . . 4 (x = (y + 1) → (x − 1) = ((y + 1) − 1))
109eleq1d 2103 . . 3 (x = (y + 1) → ((x − 1) ℕ ↔ ((y + 1) − 1) ℕ))
118, 10orbi12d 706 . 2 (x = (y + 1) → ((x = 1 (x − 1) ℕ) ↔ ((y + 1) = 1 ((y + 1) − 1) ℕ)))
12 eqeq1 2043 . . 3 (x = A → (x = 1 ↔ A = 1))
13 oveq1 5462 . . . 4 (x = A → (x − 1) = (A − 1))
1413eleq1d 2103 . . 3 (x = A → ((x − 1) ℕ ↔ (A − 1) ℕ))
1512, 14orbi12d 706 . 2 (x = A → ((x = 1 (x − 1) ℕ) ↔ (A = 1 (A − 1) ℕ)))
16 ax-1cn 6736 . 2 1
17 nncn 7663 . . . . . 6 (y ℕ → y ℂ)
18 pncan 6974 . . . . . 6 ((y 1 ℂ) → ((y + 1) − 1) = y)
1917, 16, 18sylancl 392 . . . . 5 (y ℕ → ((y + 1) − 1) = y)
20 id 19 . . . . 5 (y ℕ → y ℕ)
2119, 20eqeltrd 2111 . . . 4 (y ℕ → ((y + 1) − 1) ℕ)
2221olcd 652 . . 3 (y ℕ → ((y + 1) = 1 ((y + 1) − 1) ℕ))
2322a1d 22 . 2 (y ℕ → ((y = 1 (y − 1) ℕ) → ((y + 1) = 1 ((y + 1) − 1) ℕ)))
243, 7, 11, 15, 16, 23nnind 7671 1 (A ℕ → (A = 1 (A − 1) ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  1c1 6672   + caddc 6674  cmin 6939  cn 7655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-inn 7656
This theorem is referenced by:  nn1suc  7674  nnsub  7693  nnm1nn0  7959  nn0ge2m1nn  7978
  Copyright terms: Public domain W3C validator