Theorem nn1suc 7933

Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn1suc.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn1suc.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn1suc.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
nn1suc.5	⊢ 𝜓
nn1suc.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
nn1suc	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)

Proof of Theorem nn1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1suc.5	. . . . 5 ⊢ 𝜓
2		1ex 7022	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
3		nn1suc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbcie 2797	. . . . 5 ⊢ ([1 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	mpbir 134	. . . 4 ⊢ [1 / 𝑥]𝜑
6		1nn 7925	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ ℕ)
9		nn1suc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
10	9	sbcieg 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
12		dfsbcq 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	bitr3d 179	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝜃 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
14	5, 13	mpbiri 157	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝜃)
15	14	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 → 𝜃))
16		elisset 2568	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → ∃𝑦 𝑦 = (𝐴 − 1))
17		eleq1 2100	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
18	17	pm5.32ri 428	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) ↔ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)))
19		nn1suc.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
20	19	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → 𝜒)
21		nnre 7921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
22		peano2re 7149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
23		nn1suc.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
24	23	sbcieg 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ ℝ → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
25	21, 22, 24	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
26	25	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
27		oveq1 5519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝐴 − 1) + 1))
28	27	sbceq1d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
29	28	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
30	26, 29	bitr3d 179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → (𝜒 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
31	20, 30	mpbid 135	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
32	18, 31	sylbir 125	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
33	16, 32	exlimddv 1778	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
34		nncn 7922	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 6977	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 7220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
37	34, 35, 36	sylancl 392	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
38	37	sbceq1d 2769	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
39	38, 10	bitrd 177	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
40	33, 39	syl5ib 143	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → 𝜃))
41		nn1m1nn 7932	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
42	15, 40, 41	mpjaod 638	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  [wsbc 2764  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  1c1 6890   + caddc 6892   − cmin 7182  ℕcn 7914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915

This theorem is referenced by: (None)