ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  npcan Structured version   GIF version

Theorem npcan 6977
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan ((A B ℂ) → ((AB) + B) = A)

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 6967 . . 3 ((A B ℂ) → (AB) ℂ)
2 simpr 103 . . 3 ((A B ℂ) → B ℂ)
31, 2addcomd 6921 . 2 ((A B ℂ) → ((AB) + B) = (B + (AB)))
4 pncan3 6976 . . 3 ((B A ℂ) → (B + (AB)) = A)
54ancoms 255 . 2 ((A B ℂ) → (B + (AB)) = A)
63, 5eqtrd 2069 1 ((A B ℂ) → ((AB) + B) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669   + caddc 6674  cmin 6939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941
This theorem is referenced by:  addsubass  6978  npncan  6988  nppcan  6989  nnpcan  6990  subcan2  6992  nnncan  7002  npcand  7082  nn1suc  7674  zlem1lt  8036  zltlem1  8037  peano5uzti  8082  nummac  8135  uzp1  8242  peano2uzr  8264  fz01en  8647  fzsuc2  8671  fseq1m1p1  8687  fzoss2  8758  fzoaddel2  8779  fzosplitsnm1  8795  fzosplitprm1  8820  expm1t  8897  expubnd  8925
  Copyright terms: Public domain W3C validator