Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Structured version   GIF version

Theorem fzosplitprm1 8860
 Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1 ((A B A < B) → (A..^(B + 1)) = ((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1), B}))

Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . . . 4 ((A B A < B) → A ℤ)
2 simp2 904 . . . 4 ((A B A < B) → B ℤ)
3 zre 8025 . . . . . 6 (A ℤ → A ℝ)
4 zre 8025 . . . . . 6 (B ℤ → B ℝ)
5 ltle 6902 . . . . . 6 ((A B ℝ) → (A < BAB))
63, 4, 5syl2an 273 . . . . 5 ((A B ℤ) → (A < BAB))
763impia 1100 . . . 4 ((A B A < B) → AB)
8 eluz2 8255 . . . 4 (B (ℤA) ↔ (A B AB))
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1087 . . 3 ((A B A < B) → B (ℤA))
10 fzosplitsn 8859 . . 3 (B (ℤA) → (A..^(B + 1)) = ((A..^B) ∪ {B}))
119, 10syl 14 . 2 ((A B A < B) → (A..^(B + 1)) = ((A..^B) ∪ {B}))
12 zcn 8026 . . . . . . 7 (B ℤ → B ℂ)
13 ax-1cn 6776 . . . . . . 7 1
14 npcan 7017 . . . . . . . 8 ((B 1 ℂ) → ((B − 1) + 1) = B)
1514eqcomd 2042 . . . . . . 7 ((B 1 ℂ) → B = ((B − 1) + 1))
1612, 13, 15sylancl 392 . . . . . 6 (B ℤ → B = ((B − 1) + 1))
17163ad2ant2 925 . . . . 5 ((A B A < B) → B = ((B − 1) + 1))
1817oveq2d 5471 . . . 4 ((A B A < B) → (A..^B) = (A..^((B − 1) + 1)))
19 peano2zm 8059 . . . . . . 7 (B ℤ → (B − 1) ℤ)
20193ad2ant2 925 . . . . . 6 ((A B A < B) → (B − 1) ℤ)
21 zltlem1 8077 . . . . . . 7 ((A B ℤ) → (A < BA ≤ (B − 1)))
2221biimp3a 1234 . . . . . 6 ((A B A < B) → A ≤ (B − 1))
23 eluz2 8255 . . . . . 6 ((B − 1) (ℤA) ↔ (A (B − 1) A ≤ (B − 1)))
241, 20, 22, 23syl3anbrc 1087 . . . . 5 ((A B A < B) → (B − 1) (ℤA))
25 fzosplitsn 8859 . . . . 5 ((B − 1) (ℤA) → (A..^((B − 1) + 1)) = ((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1)}))
2624, 25syl 14 . . . 4 ((A B A < B) → (A..^((B − 1) + 1)) = ((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1)}))
2718, 26eqtrd 2069 . . 3 ((A B A < B) → (A..^B) = ((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1)}))
2827uneq1d 3090 . 2 ((A B A < B) → ((A..^B) ∪ {B}) = (((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1)}) ∪ {B}))
29 unass 3094 . . 3 (((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1)}) ∪ {B}) = ((A..^(B − 1)) ∪ ({(B − 1)} ∪ {B}))
30 df-pr 3374 . . . . . 6 {(B − 1), B} = ({(B − 1)} ∪ {B})
3130eqcomi 2041 . . . . 5 ({(B − 1)} ∪ {B}) = {(B − 1), B}
3231a1i 9 . . . 4 ((A B A < B) → ({(B − 1)} ∪ {B}) = {(B − 1), B})
3332uneq2d 3091 . . 3 ((A B A < B) → ((A..^(B − 1)) ∪ ({(B − 1)} ∪ {B})) = ((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1), B}))
3429, 33syl5eq 2081 . 2 ((A B A < B) → (((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1)}) ∪ {B}) = ((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1), B}))
3511, 28, 343eqtrd 2073 1 ((A B A < B) → (A..^(B + 1)) = ((A..^(B − 1)) ∪ {(B − 1), B}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ∪ cun 2909  {csn 3367  {cpr 3368   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857   ≤ cle 6858   − cmin 6979  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249  ..^cfzo 8769 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-fzo 8770 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator