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Theorem nummac 8135
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 0
numma.2 A 0
numma.3 B 0
numma.4 𝐶 0
numma.5 𝐷 0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · A) + B)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8 𝑃 0
nummac.9 𝐹 0
nummac.10 𝐺 0
nummac.11 ((A · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12 ((B · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
nummac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac
StepHypRef Expression
1 numma.1 . . . . 5 𝑇 0
21nn0cni 7929 . . . 4 𝑇
3 numma.2 . . . . . . . . 9 A 0
43nn0cni 7929 . . . . . . . 8 A
5 nummac.8 . . . . . . . . 9 𝑃 0
65nn0cni 7929 . . . . . . . 8 𝑃
74, 6mulcli 6790 . . . . . . 7 (A · 𝑃)
8 numma.4 . . . . . . . 8 𝐶 0
98nn0cni 7929 . . . . . . 7 𝐶
10 nummac.10 . . . . . . . 8 𝐺 0
1110nn0cni 7929 . . . . . . 7 𝐺
127, 9, 11addassi 6793 . . . . . 6 (((A · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((A · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13 nummac.11 . . . . . 6 ((A · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
1412, 13eqtri 2057 . . . . 5 (((A · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
157, 9addcli 6789 . . . . . 6 ((A · 𝑃) + 𝐶)
1615, 11addcli 6789 . . . . 5 (((A · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺)
1714, 16eqeltrri 2108 . . . 4 𝐸
182, 17, 11subdii 7160 . . 3 (𝑇 · (𝐸𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
1918oveq1i 5465 . 2 ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20 numma.3 . . 3 B 0
21 numma.5 . . 3 𝐷 0
22 numma.6 . . 3 𝑀 = ((𝑇 · A) + B)
23 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
2417, 11, 15subadd2i 7055 . . . . 5 ((𝐸𝐺) = ((A · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((A · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
2514, 24mpbir 134 . . . 4 (𝐸𝐺) = ((A · 𝑃) + 𝐶)
2625eqcomi 2041 . . 3 ((A · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸𝐺)
27 nummac.12 . . 3 ((B · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
281, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27numma 8134 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
292, 17mulcli 6790 . . . . 5 (𝑇 · 𝐸)
302, 11mulcli 6790 . . . . 5 (𝑇 · 𝐺)
31 npcan 6977 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐸) (𝑇 · 𝐺) ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
3229, 30, 31mp2an 402 . . . 4 (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
3332oveq1i 5465 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
3429, 30subcli 7043 . . . 4 ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
35 nummac.9 . . . . 5 𝐹 0
3635nn0cni 7929 . . . 4 𝐹
3734, 30, 36addassi 6793 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3833, 37eqtr3i 2059 . 2 ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3919, 28, 383eqtr4i 2067 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939  0cn0 7917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-inn 7656  df-n0 7918
This theorem is referenced by:  numma2c  8136  numaddc  8138  nummul1c  8139  decmac  8142
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