Theorem nummul1c 8179

Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3	⊢ A ∈ ℕ0
nummul1c.4	⊢ B ∈ ℕ0
nummul1c.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · A) + B)
nummul1c.6	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
nummul1c.8	⊢ ((A · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9	⊢ (B · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
nummul1c	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · A) + B)
2		nummul1c.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		nummul1c.3	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℕ0
4		nummul1c.4	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 8154	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · A) + B) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2107	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
7		nummul1c.2	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8	6, 7	num0u 8152	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9		0nn0 7972	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	2, 9	num0h 8153	. . 3 ⊢ 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11		nummul1c.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		nummul1c.7	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
13	12	nn0cni 7969	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ ℂ
14	13	addid2i 6953	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐸) = 𝐸
15	14	oveq2i 5466	. . . 4 ⊢ ((A · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((A · 𝑃) + 𝐸)
16		nummul1c.8	. . . 4 ⊢ ((A · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
17	15, 16	eqtri 2057	. . 3 ⊢ ((A · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
18	4, 7	num0u 8152	. . . 4 ⊢ (B · 𝑃) = ((B · 𝑃) + 0)
19		nummul1c.9	. . . 4 ⊢ (B · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
20	18, 19	eqtr3i 2059	. . 3 ⊢ ((B · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
21	2, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20	nummac 8175	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
22	8, 21	eqtri 2057	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  0cc0 6711   + caddc 6714   · cmul 6716  ℕ₀cn0 7957

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-inn 7696  df-n0 7958

This theorem is referenced by:  nummul2c  8180  decmul1c  8190