ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nummul1c GIF version

Theorem nummul1c 8179
Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 0
nummul1c.2 𝑃 0
nummul1c.3 A 0
nummul1c.4 B 0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · A) + B)
nummul1c.6 𝐷 0
nummul1c.7 𝐸 0
nummul1c.8 ((A · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9 (B · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul1c (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · A) + B)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 0
3 nummul1c.3 . . . . 5 A 0
4 nummul1c.4 . . . . 5 B 0
52, 3, 4numcl 8154 . . . 4 ((𝑇 · A) + B) 0
61, 5eqeltri 2107 . . 3 𝑁 0
7 nummul1c.2 . . 3 𝑃 0
86, 7num0u 8152 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9 0nn0 7972 . . 3 0 0
102, 9num0h 8153 . . 3 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11 nummul1c.6 . . 3 𝐷 0
12 nummul1c.7 . . 3 𝐸 0
1312nn0cni 7969 . . . . . 6 𝐸
1413addid2i 6953 . . . . 5 (0 + 𝐸) = 𝐸
1514oveq2i 5466 . . . 4 ((A · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((A · 𝑃) + 𝐸)
16 nummul1c.8 . . . 4 ((A · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
1715, 16eqtri 2057 . . 3 ((A · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
184, 7num0u 8152 . . . 4 (B · 𝑃) = ((B · 𝑃) + 0)
19 nummul1c.9 . . . 4 (B · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
2018, 19eqtr3i 2059 . . 3 ((B · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
212, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20nummac 8175 . 2 ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
228, 21eqtri 2057 1 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  0cc0 6711   + caddc 6714   · cmul 6716  0cn0 7957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-inn 7696  df-n0 7958
This theorem is referenced by:  nummul2c  8180  decmul1c  8190
  Copyright terms: Public domain W3C validator