ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numaddc Structured version   GIF version

Theorem numaddc 8138
Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 0
numma.2 A 0
numma.3 B 0
numma.4 𝐶 0
numma.5 𝐷 0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · A) + B)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numaddc.8 𝐹 0
numaddc.9 ((A + 𝐶) + 1) = 𝐸
numaddc.10 (B + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
numaddc (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numaddc
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑇 · A) + B)
2 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 0
3 numma.2 . . . . . . 7 A 0
4 numma.3 . . . . . . 7 B 0
52, 3, 4numcl 8114 . . . . . 6 ((𝑇 · A) + B) 0
61, 5eqeltri 2107 . . . . 5 𝑀 0
76nn0cni 7929 . . . 4 𝑀
87mulid1i 6787 . . 3 (𝑀 · 1) = 𝑀
98oveq1i 5465 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10 numma.4 . . 3 𝐶 0
11 numma.5 . . 3 𝐷 0
12 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13 1nn0 7933 . . 3 1 0
14 numaddc.8 . . 3 𝐹 0
153nn0cni 7929 . . . . . 6 A
1615mulid1i 6787 . . . . 5 (A · 1) = A
1716oveq1i 5465 . . . 4 ((A · 1) + (𝐶 + 1)) = (A + (𝐶 + 1))
1810nn0cni 7929 . . . . 5 𝐶
19 ax-1cn 6736 . . . . 5 1
2015, 18, 19addassi 6793 . . . 4 ((A + 𝐶) + 1) = (A + (𝐶 + 1))
21 numaddc.9 . . . 4 ((A + 𝐶) + 1) = 𝐸
2217, 20, 213eqtr2i 2063 . . 3 ((A · 1) + (𝐶 + 1)) = 𝐸
234nn0cni 7929 . . . . . 6 B
2423mulid1i 6787 . . . . 5 (B · 1) = B
2524oveq1i 5465 . . . 4 ((B · 1) + 𝐷) = (B + 𝐷)
26 numaddc.10 . . . 4 (B + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
2725, 26eqtri 2057 . . 3 ((B · 1) + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
282, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 13, 22, 27nummac 8135 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
299, 28eqtr3i 2059 1 (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676  0cn0 7917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-inn 7656  df-n0 7918
This theorem is referenced by:  decaddc  8145
  Copyright terms: Public domain W3C validator