Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numaddc GIF version

 Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numaddc.9 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
numaddc.10 (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
numaddc (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
3 numma.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
4 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 8378 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2110 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
76nn0cni 8193 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
87mulid1i 7029 . . 3 (𝑀 · 1) = 𝑀
98oveq1i 5522 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10 numma.4 . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
11 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13 1nn0 8197 . . 3 1 ∈ ℕ0
14 numaddc.8 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
153nn0cni 8193 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1615mulid1i 7029 . . . . 5 (𝐴 · 1) = 𝐴
1716oveq1i 5522 . . . 4 ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
1810nn0cni 8193 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
19 ax-1cn 6977 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2015, 18, 19addassi 7035 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
21 numaddc.9 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
2217, 20, 213eqtr2i 2066 . . 3 ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = 𝐸
234nn0cni 8193 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2423mulid1i 7029 . . . . 5 (𝐵 · 1) = 𝐵
2524oveq1i 5522 . . . 4 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
26 numaddc.10 . . . 4 (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
2725, 26eqtri 2060 . . 3 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
282, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 13, 22, 27nummac 8399 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
299, 28eqtr3i 2062 1 (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5512  1c1 6890   + caddc 6892   · cmul 6894  ℕ0cn0 8181 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915  df-n0 8182 This theorem is referenced by:  decaddc  8409
 Copyright terms: Public domain W3C validator