ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nummac Unicode version

Theorem nummac 8175
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers  M and  N against a fixed multiplicand  P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1  T 
NN0
numma.2  NN0
numma.3  NN0
numma.4  C 
NN0
numma.5  D 
NN0
numma.6  M  T  x.  +
numma.7  N  T  x.  C  +  D
nummac.8  P 
NN0
nummac.9  F 
NN0
nummac.10  G 
NN0
nummac.11  x.  P  +  C  +  G  E
nummac.12  x.  P  +  D  T  x.  G  +  F
Assertion
Ref Expression
nummac  M  x.  P  +  N  T  x.  E  +  F

Proof of Theorem nummac
StepHypRef Expression
1 numma.1 . . . . 5  T 
NN0
21nn0cni 7969 . . . 4  T  CC
3 numma.2 . . . . . . . . 9  NN0
43nn0cni 7969 . . . . . . . 8  CC
5 nummac.8 . . . . . . . . 9  P 
NN0
65nn0cni 7969 . . . . . . . 8  P  CC
74, 6mulcli 6830 . . . . . . 7  x.  P  CC
8 numma.4 . . . . . . . 8  C 
NN0
98nn0cni 7969 . . . . . . 7  C  CC
10 nummac.10 . . . . . . . 8  G 
NN0
1110nn0cni 7969 . . . . . . 7  G  CC
127, 9, 11addassi 6833 . . . . . 6  x.  P  +  C  +  G  x.  P  +  C  +  G
13 nummac.11 . . . . . 6  x.  P  +  C  +  G  E
1412, 13eqtri 2057 . . . . 5  x.  P  +  C  +  G  E
157, 9addcli 6829 . . . . . 6  x.  P  +  C  CC
1615, 11addcli 6829 . . . . 5  x.  P  +  C  +  G  CC
1714, 16eqeltrri 2108 . . . 4  E  CC
182, 17, 11subdii 7200 . . 3  T  x.  E  -  G  T  x.  E  -  T  x.  G
1918oveq1i 5465 . 2  T  x.  E  -  G  +  T  x.  G  +  F  T  x.  E  -  T  x.  G  +  T  x.  G  +  F
20 numma.3 . . 3  NN0
21 numma.5 . . 3  D 
NN0
22 numma.6 . . 3  M  T  x.  +
23 numma.7 . . 3  N  T  x.  C  +  D
2417, 11, 15subadd2i 7095 . . . . 5  E  -  G  x.  P  +  C  x.  P  +  C  +  G  E
2514, 24mpbir 134 . . . 4  E  -  G  x.  P  +  C
2625eqcomi 2041 . . 3  x.  P  +  C  E  -  G
27 nummac.12 . . 3  x.  P  +  D  T  x.  G  +  F
281, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27numma 8174 . 2  M  x.  P  +  N  T  x.  E  -  G  +  T  x.  G  +  F
292, 17mulcli 6830 . . . . 5  T  x.  E  CC
302, 11mulcli 6830 . . . . 5  T  x.  G  CC
31 npcan 7017 . . . . 5  T  x.  E  CC  T  x.  G  CC  T  x.  E  -  T  x.  G  +  T  x.  G  T  x.  E
3229, 30, 31mp2an 402 . . . 4  T  x.  E  -  T  x.  G  +  T  x.  G  T  x.  E
3332oveq1i 5465 . . 3  T  x.  E  -  T  x.  G  +  T  x.  G  +  F  T  x.  E  +  F
3429, 30subcli 7083 . . . 4  T  x.  E  -  T  x.  G  CC
35 nummac.9 . . . . 5  F 
NN0
3635nn0cni 7969 . . . 4  F  CC
3734, 30, 36addassi 6833 . . 3  T  x.  E  -  T  x.  G  +  T  x.  G  +  F  T  x.  E  -  T  x.  G  +  T  x.  G  +  F
3833, 37eqtr3i 2059 . 2  T  x.  E  +  F  T  x.  E  -  T  x.  G  +  T  x.  G  +  F
3919, 28, 383eqtr4i 2067 1  M  x.  P  +  N  T  x.  E  +  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455   CCcc 6709    + caddc 6714    x. cmul 6716    - cmin 6979   NN0cn0 7957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-inn 7696  df-n0 7958
This theorem is referenced by:  numma2c  8176  numaddc  8178  nummul1c  8179  decmac  8182
  Copyright terms: Public domain W3C validator