ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fseq1m1p1 Structured version   GIF version

Theorem fseq1m1p1 8687
Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
fseq1m1p1.1 𝐻 = {⟨𝑁, B⟩}
Assertion
Ref Expression
fseq1m1p1 (𝑁 ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶A B A 𝐺 = (𝐹𝐻)) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶A (𝐺𝑁) = B 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))

Proof of Theorem fseq1m1p1
StepHypRef Expression
1 nnm1nn0 7959 . . 3 (𝑁 ℕ → (𝑁 − 1) 0)
2 eqid 2037 . . . 4 {⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩} = {⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩}
32fseq1p1m1 8686 . . 3 ((𝑁 − 1) 0 → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶A B A 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩})) ↔ (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶A (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = B 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
41, 3syl 14 . 2 (𝑁 ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶A B A 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩})) ↔ (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶A (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = B 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
5 nncn 7663 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℕ → 𝑁 ℂ)
6 ax-1cn 6736 . . . . . . . . 9 1
7 npcan 6977 . . . . . . . . 9 ((𝑁 1 ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
85, 6, 7sylancl 392 . . . . . . . 8 (𝑁 ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
98opeq1d 3546 . . . . . . 7 (𝑁 ℕ → ⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩ = ⟨𝑁, B⟩)
109sneqd 3380 . . . . . 6 (𝑁 ℕ → {⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩} = {⟨𝑁, B⟩})
11 fseq1m1p1.1 . . . . . 6 𝐻 = {⟨𝑁, B⟩}
1210, 11syl6eqr 2087 . . . . 5 (𝑁 ℕ → {⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩} = 𝐻)
1312uneq2d 3091 . . . 4 (𝑁 ℕ → (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩}) = (𝐹𝐻))
1413eqeq2d 2048 . . 3 (𝑁 ℕ → (𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩}) ↔ 𝐺 = (𝐹𝐻)))
15143anbi3d 1212 . 2 (𝑁 ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶A B A 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), B⟩})) ↔ (𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶A B A 𝐺 = (𝐹𝐻))))
168oveq2d 5471 . . . 4 (𝑁 ℕ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
1716feq2d 4978 . . 3 (𝑁 ℕ → (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶A𝐺:(1...𝑁)⟶A))
188fveq2d 5125 . . . 4 (𝑁 ℕ → (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐺𝑁))
1918eqeq1d 2045 . . 3 (𝑁 ℕ → ((𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = B ↔ (𝐺𝑁) = B))
2017, 193anbi12d 1207 . 2 (𝑁 ℕ → ((𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶A (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = B 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1)))) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶A (𝐺𝑁) = B 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
214, 15, 203bitr3d 207 1 (𝑁 ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶A B A 𝐺 = (𝐹𝐻)) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶A (𝐺𝑁) = B 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cun 2909  {csn 3367  cop 3370  cres 4290  wf 4841  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6669  1c1 6672   + caddc 6674  cmin 6939  cn 7655  0cn0 7917  ...cfz 8604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-fz 8605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator