Theorem fz1sbc 8728

Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fz1sbc	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)φ ↔ [𝑁 / 𝑘]φ))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   φ(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc6g 2782	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ([𝑁 / 𝑘]φ ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → φ)))
2		df-ral 2305	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)φ ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → φ))
3		elfz1eq 8669	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4		elfz3 8668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
5		eleq1 2097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁)))
6	4, 5	syl5ibrcom 146	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑁 → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)))
7	3, 6	impbid2 131	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
8	7	imbi1d 220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → φ) ↔ (𝑘 = 𝑁 → φ)))
9	8	albidv 1702	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → φ) ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → φ)))
10	2, 9	syl5rbb 182	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → φ) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)φ))
11	1, 10	bitr2d 178	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)φ ↔ [𝑁 / 𝑘]φ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  [wsbc 2758  (class class class)co 5455  ℤcz 8021  ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-apti 6798

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by: (None)