ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz1sbc Structured version   GIF version

Theorem fz1sbc 8708
Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fz1sbc (𝑁 ℤ → (𝑘 (𝑁...𝑁)φ[𝑁 / 𝑘]φ))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   φ(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc
StepHypRef Expression
1 sbc6g 2782 . 2 (𝑁 ℤ → ([𝑁 / 𝑘]φ𝑘(𝑘 = 𝑁φ)))
2 df-ral 2305 . . 3 (𝑘 (𝑁...𝑁)φ𝑘(𝑘 (𝑁...𝑁) → φ))
3 elfz1eq 8649 . . . . . 6 (𝑘 (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4 elfz3 8648 . . . . . . 7 (𝑁 ℤ → 𝑁 (𝑁...𝑁))
5 eleq1 2097 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 (𝑁...𝑁)))
64, 5syl5ibrcom 146 . . . . . 6 (𝑁 ℤ → (𝑘 = 𝑁𝑘 (𝑁...𝑁)))
73, 6impbid2 131 . . . . 5 (𝑁 ℤ → (𝑘 (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
87imbi1d 220 . . . 4 (𝑁 ℤ → ((𝑘 (𝑁...𝑁) → φ) ↔ (𝑘 = 𝑁φ)))
98albidv 1702 . . 3 (𝑁 ℤ → (𝑘(𝑘 (𝑁...𝑁) → φ) ↔ 𝑘(𝑘 = 𝑁φ)))
102, 9syl5rbb 182 . 2 (𝑁 ℤ → (𝑘(𝑘 = 𝑁φ) ↔ 𝑘 (𝑁...𝑁)φ))
111, 10bitr2d 178 1 (𝑁 ℤ → (𝑘 (𝑁...𝑁)φ[𝑁 / 𝑘]φ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  [wsbc 2758  (class class class)co 5455  cz 8001  ...cfz 8624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-apti 6778
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-neg 6962  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator