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Theorem peano5uzti 8082
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti (𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → {𝑘 ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ A))
Distinct variable groups:   x,𝑘,A   𝑘,𝑁,x

Proof of Theorem peano5uzti
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3759 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑁𝑘𝑁𝑛))
21elrab 2692 . . . . . . 7 (𝑛 {𝑘 ℤ ∣ 𝑁𝑘} ↔ (𝑛 𝑁𝑛))
32anbi2i 430 . . . . . 6 (((𝑁 A x A (x + 1) A) 𝑛 {𝑘 ℤ ∣ 𝑁𝑘}) ↔ ((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)))
4 zcn 7986 . . . . . . . . 9 (𝑛 ℤ → 𝑛 ℂ)
54ad2antrl 459 . . . . . . . 8 (((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) → 𝑛 ℂ)
6 zcn 7986 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℂ)
7 1cnd 6801 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℤ → 1 ℂ)
86, 7subcld 7078 . . . . . . . 8 (𝑁 ℤ → (𝑁 − 1) ℂ)
9 npcan 6977 . . . . . . . 8 ((𝑛 (𝑁 − 1) ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
105, 8, 9syl2an 273 . . . . . . 7 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) 𝑁 ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
11 ax-1cn 6736 . . . . . . . . . . 11 1
12 subsub 6997 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 𝑁 1 ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
1311, 12mp3an3 1220 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 𝑁 ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
145, 6, 13syl2an 273 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) 𝑁 ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
15 znn0sub 8045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 𝑛 ℤ) → (𝑁𝑛 ↔ (𝑛𝑁) 0))
1615biimpa 280 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 𝑛 ℤ) 𝑁𝑛) → (𝑛𝑁) 0)
1716anasss 379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 (𝑛 𝑁𝑛)) → (𝑛𝑁) 0)
1817ancoms 255 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 𝑁𝑛) 𝑁 ℤ) → (𝑛𝑁) 0)
1918adantll 445 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) 𝑁 ℤ) → (𝑛𝑁) 0)
20 nn0p1nn 7957 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑁) 0 → ((𝑛𝑁) + 1) ℕ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) 𝑁 ℤ) → ((𝑛𝑁) + 1) ℕ)
2214, 21eqeltrd 2111 . . . . . . . 8 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) 𝑁 ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ℕ)
23 simpr 103 . . . . . . . 8 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) 𝑁 ℤ) → 𝑁 ℤ)
24 simpll 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) 𝑁 ℤ) → (𝑁 A x A (x + 1) A))
25 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
2625eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) A ↔ (1 + (𝑁 − 1)) A))
2726imbi2d 219 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → (((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) A) ↔ ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (1 + (𝑁 − 1)) A)))
2827imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → ((𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) A)) ↔ (𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (1 + (𝑁 − 1)) A))))
29 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
3029eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) A ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) A))
3130imbi2d 219 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) A) ↔ ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) A)))
3231imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) A)) ↔ (𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) A))))
33 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
3433eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) A ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) A))
3534imbi2d 219 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) A) ↔ ((𝑁 A x A (x + 1) A) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) A)))
3635imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) A)) ↔ (𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) A))))
37 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
3837eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) A ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) A))
3938imbi2d 219 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) A) ↔ ((𝑁 A x A (x + 1) A) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) A)))
4039imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) A)) ↔ (𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) A))))
41 1cnd 6801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 (𝑁 A x A (x + 1) A)) → 1 ℂ)
426adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 (𝑁 A x A (x + 1) A)) → 𝑁 ℂ)
4341, 42pncan3d 7081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 (𝑁 A x A (x + 1) A)) → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
44 simprl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 (𝑁 A x A (x + 1) A)) → 𝑁 A)
4543, 44eqeltrd 2111 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 (𝑁 A x A (x + 1) A)) → (1 + (𝑁 − 1)) A)
4645ex 108 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (1 + (𝑁 − 1)) A))
47 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (x = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (x + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
4847eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (x = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((x + 1) A ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) A))
4948rspccv 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x A (x + 1) A → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) A → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) A))
5049ad2antll 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 𝑁 ℤ) (𝑁 A x A (x + 1) A)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) A → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) A))
51 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 𝑁 ℤ) (𝑁 A x A (x + 1) A)) → 𝑛 ℕ)
5251nncnd 7669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 𝑁 ℤ) (𝑁 A x A (x + 1) A)) → 𝑛 ℂ)
538ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 𝑁 ℤ) (𝑁 A x A (x + 1) A)) → (𝑁 − 1) ℂ)
54 1cnd 6801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 𝑁 ℤ) (𝑁 A x A (x + 1) A)) → 1 ℂ)
5552, 53, 54add32d 6936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 𝑁 ℤ) (𝑁 A x A (x + 1) A)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
5655eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 𝑁 ℤ) (𝑁 A x A (x + 1) A)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) A ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) A))
5750, 56sylibd 138 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 𝑁 ℤ) (𝑁 A x A (x + 1) A)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) A → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) A))
5857ex 108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 𝑁 ℤ) → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) A → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) A)))
5958a2d 23 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 𝑁 ℤ) → (((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) A) → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) A)))
6059ex 108 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ℕ → (𝑁 ℤ → (((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) A) → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) A))))
6160a2d 23 . . . . . . . . 9 (𝑛 ℕ → ((𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) A)) → (𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) A))))
6228, 32, 36, 40, 46, 61nnind 7671 . . . . . . . 8 ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ℕ → (𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) A)))
6322, 23, 24, 62syl3c 57 . . . . . . 7 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) 𝑁 ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) A)
6410, 63eqeltrrd 2112 . . . . . 6 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) (𝑛 𝑁𝑛)) 𝑁 ℤ) → 𝑛 A)
653, 64sylanb 268 . . . . 5 ((((𝑁 A x A (x + 1) A) 𝑛 {𝑘 ℤ ∣ 𝑁𝑘}) 𝑁 ℤ) → 𝑛 A)
6665expcom 109 . . . 4 (𝑁 ℤ → (((𝑁 A x A (x + 1) A) 𝑛 {𝑘 ℤ ∣ 𝑁𝑘}) → 𝑛 A))
6766expdimp 246 . . 3 ((𝑁 (𝑁 A x A (x + 1) A)) → (𝑛 {𝑘 ℤ ∣ 𝑁𝑘} → 𝑛 A))
6867ssrdv 2945 . 2 ((𝑁 (𝑁 A x A (x + 1) A)) → {𝑘 ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ A)
6968ex 108 1 (𝑁 ℤ → ((𝑁 A x A (x + 1) A) → {𝑘 ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  {crab 2304  wss 2911   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  1c1 6672   + caddc 6674  cle 6818  cmin 6939  cn 7655  0cn0 7917  cz 7981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982
This theorem is referenced by:  peano5uzi  8083  uzind  8085
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