ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano5uzti GIF version

Theorem peano5uzti 8346
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzti
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3768 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑁𝑘𝑁𝑛))
21elrab 2698 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛))
32anbi2i 430 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘}) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)))
4 zcn 8250 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
54ad2antrl 459 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
6 zcn 8250 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 1cnd 7043 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
86, 7subcld 7322 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9 npcan 7220 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
105, 8, 9syl2an 273 . . . . . . 7 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
11 ax-1cn 6977 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
12 subsub 7241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
1311, 12mp3an3 1221 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
145, 6, 13syl2an 273 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
15 znn0sub 8309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
1615biimpa 280 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑛) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1716anasss 379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1817ancoms 255 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1918adantll 445 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
20 nn0p1nn 8221 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2214, 21eqeltrd 2114 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
23 simpr 103 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 simpll 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
25 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
2625eleq1d 2106 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
2726imbi2d 219 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
2827imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
29 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
3029eleq1d 2106 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3130imbi2d 219 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
3231imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
33 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
3433eleq1d 2106 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3534imbi2d 219 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
3635imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
37 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
3837eleq1d 2106 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3938imbi2d 219 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
4039imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
41 1cnd 7043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
426adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4341, 42pncan3d 7325 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
44 simprl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁𝐴)
4543, 44eqeltrd 2114 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
4645ex 108 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
47 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
4847eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
4948rspccv 2653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
5049ad2antll 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
51 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5251nncnd 7928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
538ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
54 1cnd 7043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
5552, 53, 54add32d 7179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
5655eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
5750, 56sylibd 138 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
5857ex 108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
5958a2d 23 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
6059ex 108 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
6160a2d 23 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
6228, 32, 36, 40, 46, 61nnind 7930 . . . . . . . 8 ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
6322, 23, 24, 62syl3c 57 . . . . . . 7 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
6410, 63eqeltrrd 2115 . . . . . 6 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛𝐴)
653, 64sylanb 268 . . . . 5 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘}) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛𝐴)
6665expcom 109 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘}) → 𝑛𝐴))
6766expdimp 246 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} → 𝑛𝐴))
6867ssrdv 2951 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴)
6968ex 108 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2306  {crab 2310  wss 2917   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cc 6887  1c1 6890   + caddc 6892  cle 7061  cmin 7182  cn 7914  0cn0 8181  cz 8245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246
This theorem is referenced by:  peano5uzi  8347  uzind  8349
  Copyright terms: Public domain W3C validator