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Theorem iiserex 9832
Description: An infinite series converges, if and only if the series does with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserex.2 (𝜑𝑁𝑍)
iserex.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iiserex (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iiserex
StepHypRef Expression
1 iseqeq1 9188 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
21eleq1d 2106 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
32bicomd 129 . . 3 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
43a1i 9 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )))
5 simpll 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
6 iserex.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁𝑍)
7 clim2ser.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
86, 7syl6eleq 2130 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
9 eluzelz 8480 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
108, 9syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1110zcnd 8359 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
12 ax-1cn 6975 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
13 npcan 7218 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1411, 12, 13sylancl 392 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
15 iseqeq1 9188 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
175, 16syl 14 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
18 simplr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
1918, 7syl6eleqr 2131 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
20 iserex.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
215, 20sylan 267 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
22 simpr 103 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
23 climdm 9789 . . . . . . . 8 (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)))
2422, 23sylib 127 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)))
257, 19, 21, 24clim2iser 9830 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
2617, 25eqbrtrrd 3786 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
27 climrel 9774 . . . . . 6 Rel ⇝
2827releldmi 4573 . . . . 5 (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
2926, 28syl 14 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
30 simpr 103 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
3130, 7syl6eleqr 2131 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
3231adantr 261 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
33 simpll 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
3433, 20sylan 267 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3533, 16syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
36 simpr 103 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
37 climdm 9789 . . . . . . . 8 (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
3836, 37sylib 127 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
3935, 38eqbrtrd 3784 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
407, 32, 34, 39clim2iser2 9831 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)) + (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
4127releldmi 4573 . . . . 5 (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)) + (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
4240, 41syl 14 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
4329, 42impbida 528 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
4443ex 108 . 2 (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )))
45 uzm1 8501 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
468, 45syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
474, 44, 46mpjaod 638 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3764  dom cdm 4345  cfv 4902  (class class class)co 5512  cc 6885  1c1 6888   + caddc 6890  cmin 7180  cz 8243  cuz 8471  seqcseq 9185  cli 9772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000  ax-arch 7001  ax-caucvg 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-inn 7913  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-rp 8582  df-fz 8873  df-iseq 9186  df-iexp 9229  df-cj 9416  df-re 9417  df-im 9418  df-rsqrt 9570  df-abs 9571  df-clim 9773
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