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Theorem iiserex 9859
 Description: An infinite series converges, if and only if the series does with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserex.2 (𝜑𝑁𝑍)
iserex.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iiserex (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iiserex
StepHypRef Expression
1 iseqeq1 9214 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
21eleq1d 2106 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
32bicomd 129 . . 3 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
43a1i 9 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )))
5 simpll 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
6 iserex.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁𝑍)
7 clim2ser.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
86, 7syl6eleq 2130 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
9 eluzelz 8482 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
108, 9syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1110zcnd 8361 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
12 ax-1cn 6977 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
13 npcan 7220 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1411, 12, 13sylancl 392 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
15 iseqeq1 9214 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
175, 16syl 14 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
18 simplr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
1918, 7syl6eleqr 2131 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
20 iserex.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
215, 20sylan 267 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
22 simpr 103 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
23 climdm 9816 . . . . . . . 8 (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)))
2422, 23sylib 127 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)))
257, 19, 21, 24clim2iser 9857 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
2617, 25eqbrtrrd 3786 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
27 climrel 9801 . . . . . 6 Rel ⇝
2827releldmi 4573 . . . . 5 (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
2926, 28syl 14 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
30 simpr 103 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
3130, 7syl6eleqr 2131 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
3231adantr 261 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
33 simpll 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
3433, 20sylan 267 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3533, 16syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
36 simpr 103 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
37 climdm 9816 . . . . . . . 8 (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
3836, 37sylib 127 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
3935, 38eqbrtrd 3784 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
407, 32, 34, 39clim2iser2 9858 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)) + (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
4127releldmi 4573 . . . . 5 (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)) + (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
4240, 41syl 14 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
4329, 42impbida 528 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
4443ex 108 . 2 (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )))
45 uzm1 8503 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
468, 45syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
474, 44, 46mpjaod 638 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  dom cdm 4345  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  1c1 6890   + caddc 6892   − cmin 7182  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  seqcseq 9211   ⇝ cli 9799 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-fz 8875  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597  df-clim 9800 This theorem is referenced by: (None)
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