ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn1suc Structured version   Unicode version

Theorem nn1suc 7694
Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nn1suc.1  1
nn1suc.3  + 
1
nn1suc.4
nn1suc.5
nn1suc.6  NN
Assertion
Ref Expression
nn1suc  NN
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem nn1suc
StepHypRef Expression
1 nn1suc.5 . . . . 5
2 1ex 6800 . . . . . 6  1  _V
3 nn1suc.1 . . . . . 6  1
42, 3sbcie 2791 . . . . 5  [.
1  ].
51, 4mpbir 134 . . . 4  [. 1  ].
6 1nn 7686 . . . . . . 7  1  NN
7 eleq1 2097 . . . . . . 7  1  NN  1  NN
86, 7mpbiri 157 . . . . . 6  1  NN
9 nn1suc.4 . . . . . . 7
109sbcieg 2789 . . . . . 6  NN  [.  ].
118, 10syl 14 . . . . 5  1  [.  ].
12 dfsbcq 2760 . . . . 5  1  [.  ]. 
[. 1  ].
1311, 12bitr3d 179 . . . 4  1 
[. 1  ].
145, 13mpbiri 157 . . 3  1
1514a1i 9 . 2  NN  1
16 elisset 2562 . . . 4  -  1  NN  -  1
17 eleq1 2097 . . . . . 6  - 
1  NN  -  1  NN
1817pm5.32ri 428 . . . . 5  NN  -  1  - 
1  NN  -  1
19 nn1suc.6 . . . . . . 7  NN
2019adantr 261 . . . . . 6  NN  -  1
21 nnre 7682 . . . . . . . . 9  NN  RR
22 peano2re 6926 . . . . . . . . 9  RR  +  1  RR
23 nn1suc.3 . . . . . . . . . 10  + 
1
2423sbcieg 2789 . . . . . . . . 9  +  1  RR  [.  +  1  ].
2521, 22, 243syl 17 . . . . . . . 8  NN  [.  +  1  ].
2625adantr 261 . . . . . . 7  NN  -  1  [.  +  1  ].
27 oveq1 5462 . . . . . . . . 9  - 
1  +  1  -  1  + 
1
2827sbceq1d 2763 . . . . . . . 8  - 
1  [.  +  1  ].  [.  - 
1  +  1  ].
2928adantl 262 . . . . . . 7  NN  -  1  [.  +  1  ].  [.  -  1  +  1  ].
3026, 29bitr3d 179 . . . . . 6  NN  -  1  [.  -  1  +  1  ].
3120, 30mpbid 135 . . . . 5  NN  -  1  [.  -  1  + 
1  ].
3218, 31sylbir 125 . . . 4  -  1  NN  -  1  [.  -  1  + 
1  ].
3316, 32exlimddv 1775 . . 3  -  1  NN  [.  -  1  +  1  ].
34 nncn 7683 . . . . . 6  NN  CC
35 ax-1cn 6756 . . . . . 6  1  CC
36 npcan 6997 . . . . . 6  CC  1  CC  - 
1  +  1
3734, 35, 36sylancl 392 . . . . 5  NN  -  1  +  1
3837sbceq1d 2763 . . . 4  NN  [.  - 
1  +  1  ].  [.  ].
3938, 10bitrd 177 . . 3  NN  [.  - 
1  +  1  ].
4033, 39syl5ib 143 . 2  NN  -  1  NN
41 nn1m1nn 7693 . 2  NN  1  -  1  NN
4215, 40, 41mpjaod 637 1  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   [.wsbc 2758  (class class class)co 5455   CCcc 6689   RRcr 6690   1c1 6692    + caddc 6694    - cmin 6959   NNcn 7675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6961  df-inn 7676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator