ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn1m1nn Structured version   Unicode version

Theorem nn1m1nn 7713
Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn1m1nn  NN  1  -  1  NN

Proof of Theorem nn1m1nn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 632 . . 3  1  1  -  1  NN
2 1cnd 6841 . . 3  1  1  CC
31, 22thd 164 . 2  1  1  -  1  NN  1  CC
4 eqeq1 2043 . . 3  1  1
5 oveq1 5462 . . . 4  -  1  -  1
65eleq1d 2103 . . 3  -  1  NN  -  1  NN
74, 6orbi12d 706 . 2  1  -  1  NN  1  - 
1  NN
8 eqeq1 2043 . . 3  + 
1  1  +  1  1
9 oveq1 5462 . . . 4  + 
1  -  1  + 
1  -  1
109eleq1d 2103 . . 3  + 
1  -  1  NN  +  1  -  1  NN
118, 10orbi12d 706 . 2  + 
1  1  -  1  NN  + 
1  1  +  1  - 
1  NN
12 eqeq1 2043 . . 3  1  1
13 oveq1 5462 . . . 4  -  1  -  1
1413eleq1d 2103 . . 3  -  1  NN  -  1  NN
1512, 14orbi12d 706 . 2  1  -  1  NN  1  - 
1  NN
16 ax-1cn 6776 . 2  1  CC
17 nncn 7703 . . . . . 6  NN  CC
18 pncan 7014 . . . . . 6  CC  1  CC  + 
1  -  1
1917, 16, 18sylancl 392 . . . . 5  NN  +  1  -  1
20 id 19 . . . . 5  NN  NN
2119, 20eqeltrd 2111 . . . 4  NN  +  1  -  1  NN
2221olcd 652 . . 3  NN  +  1  1  +  1  -  1  NN
2322a1d 22 . 2  NN  1  -  1  NN  + 
1  1  +  1  - 
1  NN
243, 7, 11, 15, 16, 23nnind 7711 1  NN  1  -  1  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wo 628   wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455   CCcc 6709   1c1 6712    + caddc 6714    - cmin 6979   NNcn 7695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-inn 7696
This theorem is referenced by:  nn1suc  7714  nnsub  7733  nnm1nn0  7999  nn0ge2m1nn  8018
  Copyright terms: Public domain W3C validator