Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn Structured version   GIF version

Theorem nn0ge2m1nn 7998
 Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . . 5 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 0)
2 1red 6820 . . . . . . . 8 (𝑁 0 → 1 ℝ)
3 2re 7745 . . . . . . . . 9 2
43a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑁 0 → 2 ℝ)
5 nn0re 7946 . . . . . . . 8 (𝑁 0𝑁 ℝ)
62, 4, 53jca 1083 . . . . . . 7 (𝑁 0 → (1 2 𝑁 ℝ))
76adantr 261 . . . . . 6 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → (1 2 𝑁 ℝ))
8 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9 1lt2 7844 . . . . . . 7 1 < 2
108, 9jctil 295 . . . . . 6 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 2 ≤ 𝑁))
11 ltleletr 6877 . . . . . 6 ((1 2 𝑁 ℝ) → ((1 < 2 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
127, 10, 11sylc 56 . . . . 5 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13 elnnnn0c 7983 . . . . 5 (𝑁 ℕ ↔ (𝑁 0 1 ≤ 𝑁))
141, 12, 13sylanbrc 394 . . . 4 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ℕ)
15 nn1m1nn 7693 . . . 4 (𝑁 ℕ → (𝑁 = 1 (𝑁 − 1) ℕ))
1614, 15syl 14 . . 3 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 (𝑁 − 1) ℕ))
17 1re 6804 . . . . . . . . . . 11 1
183, 17lenlti 6895 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 2)
1918biimpi 113 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 1 → ¬ 1 < 2)
209, 19mt2 568 . . . . . . . 8 ¬ 2 ≤ 1
21 breq2 3759 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
2220, 21mtbiri 599 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑁)
2322pm2.21d 549 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ℕ))
2423com12 27 . . . . 5 (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ℕ))
2524adantl 262 . . . 4 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ℕ))
2625orim1d 700 . . 3 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 1 (𝑁 − 1) ℕ) → ((𝑁 − 1) (𝑁 − 1) ℕ)))
2716, 26mpd 13 . 2 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) (𝑁 − 1) ℕ))
28 oridm 673 . 2 (((𝑁 − 1) (𝑁 − 1) ℕ) ↔ (𝑁 − 1) ℕ)
2927, 28sylib 127 1 ((𝑁 0 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ℕ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6690  1c1 6692   < clt 6837   ≤ cle 6838   − cmin 6959  ℕcn 7675  2c2 7724  ℕ0cn0 7937 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-inn 7676  df-2 7733  df-n0 7938 This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  7999
 Copyright terms: Public domain W3C validator