Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge2m1nn GIF version

Theorem nn0ge2m1nn 8242
 Description: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge2m1nn ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0ge2m1nn
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 1red 7042 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3 2re 7985 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
43a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5 nn0re 8190 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
62, 4, 53jca 1084 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
76adantr 261 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
9 1lt2 8086 . . . . . . 7 1 < 2
108, 9jctil 295 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
11 ltleletr 7100 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁))
127, 10, 11sylc 56 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
13 elnnnn0c 8227 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
141, 12, 13sylanbrc 394 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 nn1m1nn 7932 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
1614, 15syl 14 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
17 1re 7026 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
183, 17lenlti 7118 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 2)
1918biimpi 113 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 1 → ¬ 1 < 2)
209, 19mt2 569 . . . . . . . 8 ¬ 2 ≤ 1
21 breq2 3768 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 1))
2220, 21mtbiri 600 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑁)
2322pm2.21d 549 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2423com12 27 . . . . 5 (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2524adantl 262 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2625orim1d 701 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)))
2716, 26mpd 13 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
28 oridm 674 . 2 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
2927, 28sylib 127 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  1c1 6890   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182  ℕcn 7914  2c2 7964  ℕ0cn0 8181 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182 This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  8243
 Copyright terms: Public domain W3C validator