ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulreap Structured version   GIF version

Theorem mulreap 9052
Description: A product with a real multiplier apart from zero is real iff the multiplicand is real. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulreap ((A B B # 0) → (A ℝ ↔ (B · A) ℝ))

Proof of Theorem mulreap
StepHypRef Expression
1 rereb 9051 . . 3 (A ℂ → (A ℝ ↔ (ℜ‘A) = A))
213ad2ant1 924 . 2 ((A B B # 0) → (A ℝ ↔ (ℜ‘A) = A))
3 recl 9041 . . . . 5 (A ℂ → (ℜ‘A) ℝ)
43recnd 6811 . . . 4 (A ℂ → (ℜ‘A) ℂ)
543ad2ant1 924 . . 3 ((A B B # 0) → (ℜ‘A) ℂ)
6 simp1 903 . . 3 ((A B B # 0) → A ℂ)
7 recn 6772 . . . . 5 (B ℝ → B ℂ)
87anim1i 323 . . . 4 ((B B # 0) → (B B # 0))
983adant1 921 . . 3 ((A B B # 0) → (B B # 0))
10 mulcanap 7388 . . 3 (((ℜ‘A) A (B B # 0)) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (ℜ‘A) = A))
115, 6, 9, 10syl3anc 1134 . 2 ((A B B # 0) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (ℜ‘A) = A))
127adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((B A ℂ) → B ℂ)
134adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((B A ℂ) → (ℜ‘A) ℂ)
14 ax-icn 6738 . . . . . . . . . . . 12 i
15 imcl 9042 . . . . . . . . . . . . 13 (A ℂ → (ℑ‘A) ℝ)
1615recnd 6811 . . . . . . . . . . . 12 (A ℂ → (ℑ‘A) ℂ)
17 mulcl 6766 . . . . . . . . . . . 12 ((i (ℑ‘A) ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
1814, 16, 17sylancr 393 . . . . . . . . . . 11 (A ℂ → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
1918adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((B A ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
2012, 13, 19adddid 6809 . . . . . . . . 9 ((B A ℂ) → (B · ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A)))) = ((B · (ℜ‘A)) + (B · (i · (ℑ‘A)))))
21 replim 9047 . . . . . . . . . . 11 (A ℂ → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
2221adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((B A ℂ) → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
2322oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 ((B A ℂ) → (B · A) = (B · ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A)))))
24 mul12 6899 . . . . . . . . . . . 12 ((i B (ℑ‘A) ℂ) → (i · (B · (ℑ‘A))) = (B · (i · (ℑ‘A))))
2514, 24mp3an1 1218 . . . . . . . . . . 11 ((B (ℑ‘A) ℂ) → (i · (B · (ℑ‘A))) = (B · (i · (ℑ‘A))))
267, 16, 25syl2an 273 . . . . . . . . . 10 ((B A ℂ) → (i · (B · (ℑ‘A))) = (B · (i · (ℑ‘A))))
2726oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 ((B A ℂ) → ((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A)))) = ((B · (ℜ‘A)) + (B · (i · (ℑ‘A)))))
2820, 23, 273eqtr4d 2079 . . . . . . . 8 ((B A ℂ) → (B · A) = ((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A)))))
2928fveq2d 5125 . . . . . . 7 ((B A ℂ) → (ℜ‘(B · A)) = (ℜ‘((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A))))))
30 remulcl 6767 . . . . . . . . 9 ((B (ℜ‘A) ℝ) → (B · (ℜ‘A)) ℝ)
313, 30sylan2 270 . . . . . . . 8 ((B A ℂ) → (B · (ℜ‘A)) ℝ)
32 remulcl 6767 . . . . . . . . 9 ((B (ℑ‘A) ℝ) → (B · (ℑ‘A)) ℝ)
3315, 32sylan2 270 . . . . . . . 8 ((B A ℂ) → (B · (ℑ‘A)) ℝ)
34 crre 9045 . . . . . . . 8 (((B · (ℜ‘A)) (B · (ℑ‘A)) ℝ) → (ℜ‘((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A))))) = (B · (ℜ‘A)))
3531, 33, 34syl2anc 391 . . . . . . 7 ((B A ℂ) → (ℜ‘((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A))))) = (B · (ℜ‘A)))
3629, 35eqtr2d 2070 . . . . . 6 ((B A ℂ) → (B · (ℜ‘A)) = (ℜ‘(B · A)))
3736eqeq1d 2045 . . . . 5 ((B A ℂ) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (ℜ‘(B · A)) = (B · A)))
38 mulcl 6766 . . . . . . 7 ((B A ℂ) → (B · A) ℂ)
397, 38sylan 267 . . . . . 6 ((B A ℂ) → (B · A) ℂ)
40 rereb 9051 . . . . . 6 ((B · A) ℂ → ((B · A) ℝ ↔ (ℜ‘(B · A)) = (B · A)))
4139, 40syl 14 . . . . 5 ((B A ℂ) → ((B · A) ℝ ↔ (ℜ‘(B · A)) = (B · A)))
4237, 41bitr4d 180 . . . 4 ((B A ℂ) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (B · A) ℝ))
4342ancoms 255 . . 3 ((A B ℝ) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (B · A) ℝ))
44433adant3 923 . 2 ((A B B # 0) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (B · A) ℝ))
452, 11, 443bitr2d 205 1 ((A B B # 0) → (A ℝ ↔ (B · A) ℝ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676   # cap 7325  cre 9028  cim 9029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-2 7713  df-cj 9030  df-re 9031  df-im 9032
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator