Theorem mulreap 9052

Description: A product with a real multiplier apart from zero is real iff the multiplicand is real. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulreap	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℝ ∧ B # 0) → (A ∈ ℝ ↔ (B · A) ∈ ℝ))

Proof of Theorem mulreap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rereb 9051	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (A ∈ ℝ ↔ (ℜ‘A) = A))
2	1	3ad2ant1 924	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℝ ∧ B # 0) → (A ∈ ℝ ↔ (ℜ‘A) = A))
3		recl 9041	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℜ‘A) ∈ ℝ)
4	3	recnd 6811	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℜ‘A) ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 924	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℝ ∧ B # 0) → (ℜ‘A) ∈ ℂ)
6		simp1 903	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℝ ∧ B # 0) → A ∈ ℂ)
7		recn 6772	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℝ → B ∈ ℂ)
8	7	anim1i 323	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ B # 0) → (B ∈ ℂ ∧ B # 0))
9	8	3adant1 921	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℝ ∧ B # 0) → (B ∈ ℂ ∧ B # 0))
10		mulcanap 7388	. . 3 ⊢ (((ℜ‘A) ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (ℜ‘A) = A))
11	5, 6, 9, 10	syl3anc 1134	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℝ ∧ B # 0) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (ℜ‘A) = A))
12	7	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → B ∈ ℂ)
13	4	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (ℜ‘A) ∈ ℂ)
14		ax-icn 6738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
15		imcl 9042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ‘A) ∈ ℝ)
16	15	recnd 6811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ‘A) ∈ ℂ)
17		mulcl 6766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘A) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ∈ ℂ)
18	14, 16, 17	sylancr 393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → (i · (ℑ‘A)) ∈ ℂ)
19	18	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ∈ ℂ)
20	12, 13, 19	adddid 6809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (B · ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A)))) = ((B · (ℜ‘A)) + (B · (i · (ℑ‘A)))))
21		replim 9047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℂ → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
22	21	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
23	22	oveq2d 5471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (B · A) = (B · ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A)))))
24		mul12 6899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ (ℑ‘A) ∈ ℂ) → (i · (B · (ℑ‘A))) = (B · (i · (ℑ‘A))))
25	14, 24	mp3an1 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (ℑ‘A) ∈ ℂ) → (i · (B · (ℑ‘A))) = (B · (i · (ℑ‘A))))
26	7, 16, 25	syl2an 273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (i · (B · (ℑ‘A))) = (B · (i · (ℑ‘A))))
27	26	oveq2d 5471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → ((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A)))) = ((B · (ℜ‘A)) + (B · (i · (ℑ‘A)))))
28	20, 23, 27	3eqtr4d 2079	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (B · A) = ((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A)))))
29	28	fveq2d 5125	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (ℜ‘(B · A)) = (ℜ‘((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A))))))
30		remulcl 6767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ (ℜ‘A) ∈ ℝ) → (B · (ℜ‘A)) ∈ ℝ)
31	3, 30	sylan2 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (B · (ℜ‘A)) ∈ ℝ)
32		remulcl 6767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ (ℑ‘A) ∈ ℝ) → (B · (ℑ‘A)) ∈ ℝ)
33	15, 32	sylan2 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (B · (ℑ‘A)) ∈ ℝ)
34		crre 9045	. . . . . . . 8 ⊢ (((B · (ℜ‘A)) ∈ ℝ ∧ (B · (ℑ‘A)) ∈ ℝ) → (ℜ‘((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A))))) = (B · (ℜ‘A)))
35	31, 33, 34	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (ℜ‘((B · (ℜ‘A)) + (i · (B · (ℑ‘A))))) = (B · (ℜ‘A)))
36	29, 35	eqtr2d 2070	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (B · (ℜ‘A)) = (ℜ‘(B · A)))
37	36	eqeq1d 2045	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (ℜ‘(B · A)) = (B · A)))
38		mulcl 6766	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → (B · A) ∈ ℂ)
39	7, 38	sylan 267	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → (B · A) ∈ ℂ)
40		rereb 9051	. . . . . 6 ⊢ ((B · A) ∈ ℂ → ((B · A) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(B · A)) = (B · A)))
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → ((B · A) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(B · A)) = (B · A)))
42	37, 41	bitr4d 180	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℂ) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (B · A) ∈ ℝ))
43	42	ancoms 255	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℝ) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (B · A) ∈ ℝ))
44	43	3adant3 923	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℝ ∧ B # 0) → ((B · (ℜ‘A)) = (B · A) ↔ (B · A) ∈ ℝ))
45	2, 11, 44	3bitr2d 205	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℝ ∧ B # 0) → (A ∈ ℝ ↔ (B · A) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6669  ℝcr 6670  0cc0 6671  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676   # cap 7325  ℜcre 9028  ℑcim 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-2 7713  df-cj 9030  df-re 9031  df-im 9032

This theorem is referenced by: (None)