ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numltc Structured version   GIF version

Theorem numltc 8123
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 𝑇
numlt.2 A 0
numlt.3 B 0
numltc.3 𝐶 0
numltc.4 𝐷 0
numltc.5 𝐶 < 𝑇
numltc.6 A < B
Assertion
Ref Expression
numltc ((𝑇 · A) + 𝐶) < ((𝑇 · B) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5 𝑇
2 numlt.2 . . . . 5 A 0
3 numltc.3 . . . . 5 𝐶 0
4 numltc.5 . . . . 5 𝐶 < 𝑇
51, 2, 3, 1, 4numlt 8122 . . . 4 ((𝑇 · A) + 𝐶) < ((𝑇 · A) + 𝑇)
61nnrei 7664 . . . . . . 7 𝑇
76recni 6797 . . . . . 6 𝑇
82nn0rei 7928 . . . . . . 7 A
98recni 6797 . . . . . 6 A
10 ax-1cn 6736 . . . . . 6 1
117, 9, 10adddii 6795 . . . . 5 (𝑇 · (A + 1)) = ((𝑇 · A) + (𝑇 · 1))
127mulid1i 6787 . . . . . 6 (𝑇 · 1) = 𝑇
1312oveq2i 5466 . . . . 5 ((𝑇 · A) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · A) + 𝑇)
1411, 13eqtri 2057 . . . 4 (𝑇 · (A + 1)) = ((𝑇 · A) + 𝑇)
155, 14breqtrri 3780 . . 3 ((𝑇 · A) + 𝐶) < (𝑇 · (A + 1))
16 numltc.6 . . . . 5 A < B
17 numlt.3 . . . . . 6 B 0
18 nn0ltp1le 8042 . . . . . 6 ((A 0 B 0) → (A < B ↔ (A + 1) ≤ B))
192, 17, 18mp2an 402 . . . . 5 (A < B ↔ (A + 1) ≤ B)
2016, 19mpbi 133 . . . 4 (A + 1) ≤ B
211nngt0i 7685 . . . . 5 0 < 𝑇
22 peano2re 6906 . . . . . . 7 (A ℝ → (A + 1) ℝ)
238, 22ax-mp 7 . . . . . 6 (A + 1)
2417nn0rei 7928 . . . . . 6 B
2523, 24, 6lemul2i 7632 . . . . 5 (0 < 𝑇 → ((A + 1) ≤ B ↔ (𝑇 · (A + 1)) ≤ (𝑇 · B)))
2621, 25ax-mp 7 . . . 4 ((A + 1) ≤ B ↔ (𝑇 · (A + 1)) ≤ (𝑇 · B))
2720, 26mpbi 133 . . 3 (𝑇 · (A + 1)) ≤ (𝑇 · B)
286, 8remulcli 6799 . . . . 5 (𝑇 · A)
293nn0rei 7928 . . . . 5 𝐶
3028, 29readdcli 6798 . . . 4 ((𝑇 · A) + 𝐶)
316, 23remulcli 6799 . . . 4 (𝑇 · (A + 1))
326, 24remulcli 6799 . . . 4 (𝑇 · B)
3330, 31, 32ltletri 6881 . . 3 ((((𝑇 · A) + 𝐶) < (𝑇 · (A + 1)) (𝑇 · (A + 1)) ≤ (𝑇 · B)) → ((𝑇 · A) + 𝐶) < (𝑇 · B))
3415, 27, 33mp2an 402 . 2 ((𝑇 · A) + 𝐶) < (𝑇 · B)
35 numltc.4 . . 3 𝐷 0
3632, 35nn0addge1i 7966 . 2 (𝑇 · B) ≤ ((𝑇 · B) + 𝐷)
3735nn0rei 7928 . . . 4 𝐷
3832, 37readdcli 6798 . . 3 ((𝑇 · B) + 𝐷)
3930, 32, 38ltletri 6881 . 2 ((((𝑇 · A) + 𝐶) < (𝑇 · B) (𝑇 · B) ≤ ((𝑇 · B) + 𝐷)) → ((𝑇 · A) + 𝐶) < ((𝑇 · B) + 𝐷))
4034, 36, 39mp2an 402 1 ((𝑇 · A) + 𝐶) < ((𝑇 · B) + 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676   < clt 6817  cle 6818  cn 7655  0cn0 7917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982
This theorem is referenced by:  decltc  8125  numlti  8127
  Copyright terms: Public domain W3C validator