Theorem numlt 8386

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numlt.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ
numlt.5	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
numlt	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Proof of Theorem numlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.5	. 2 ⊢ 𝐵 < 𝐶
2		numlt.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 8192	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		numlt.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
5	4	nnrei 7923	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6		numlt.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
7	6	nnnn0i 8189	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
8		numlt.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	7, 8	nn0mulcli 8220	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
10	9	nn0rei 8192	. . 3 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
11	3, 5, 10	ltadd2i 7417	. 2 ⊢ (𝐵 < 𝐶 ↔ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶))
12	1, 11	mpbi 133	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶)

Syntax hints:   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   + caddc 6892   · cmul 6894   < clt 7060  ℕcn 7914  ℕ₀cn0 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-ltxr 7065  df-sub 7184  df-inn 7915  df-n0 8182

This theorem is referenced by:  numltc  8387  declt  8388