ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numltc Unicode version

Theorem numltc 8163
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1  T  NN
numlt.2  NN0
numlt.3  NN0
numltc.3  C 
NN0
numltc.4  D 
NN0
numltc.5  C  < 
T
numltc.6  <
Assertion
Ref Expression
numltc  T  x.  +  C  <  T  x.  +  D

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5  T  NN
2 numlt.2 . . . . 5  NN0
3 numltc.3 . . . . 5  C 
NN0
4 numltc.5 . . . . 5  C  < 
T
51, 2, 3, 1, 4numlt 8162 . . . 4  T  x.  +  C  <  T  x.  +  T
61nnrei 7704 . . . . . . 7  T  RR
76recni 6837 . . . . . 6  T  CC
82nn0rei 7968 . . . . . . 7  RR
98recni 6837 . . . . . 6  CC
10 ax-1cn 6776 . . . . . 6  1  CC
117, 9, 10adddii 6835 . . . . 5  T  x.  + 
1  T  x.  +  T  x.  1
127mulid1i 6827 . . . . . 6  T  x.  1  T
1312oveq2i 5466 . . . . 5  T  x.  +  T  x.  1  T  x.  +  T
1411, 13eqtri 2057 . . . 4  T  x.  + 
1  T  x.  +  T
155, 14breqtrri 3780 . . 3  T  x.  +  C  <  T  x.  +  1
16 numltc.6 . . . . 5  <
17 numlt.3 . . . . . 6  NN0
18 nn0ltp1le 8082 . . . . . 6  NN0  NN0  <  +  1  <_
192, 17, 18mp2an 402 . . . . 5  <  +  1  <_
2016, 19mpbi 133 . . . 4  +  1  <_
211nngt0i 7725 . . . . 5  0  <  T
22 peano2re 6946 . . . . . . 7  RR  +  1  RR
238, 22ax-mp 7 . . . . . 6  +  1  RR
2417nn0rei 7968 . . . . . 6  RR
2523, 24, 6lemul2i 7672 . . . . 5  0  <  T  +  1  <_  T  x.  + 
1  <_  T  x.
2621, 25ax-mp 7 . . . 4  +  1 
<_  T  x.  +  1  <_  T  x.
2720, 26mpbi 133 . . 3  T  x.  + 
1  <_  T  x.
286, 8remulcli 6839 . . . . 5  T  x.  RR
293nn0rei 7968 . . . . 5  C  RR
3028, 29readdcli 6838 . . . 4  T  x.  +  C  RR
316, 23remulcli 6839 . . . 4  T  x.  + 
1  RR
326, 24remulcli 6839 . . . 4  T  x.  RR
3330, 31, 32ltletri 6921 . . 3  T  x.  +  C  <  T  x.  +  1  T  x.  +  1 
<_  T  x.  T  x.  +  C  <  T  x.
3415, 27, 33mp2an 402 . 2  T  x.  +  C  <  T  x.
35 numltc.4 . . 3  D 
NN0
3632, 35nn0addge1i 8006 . 2  T  x.  <_  T  x.  +  D
3735nn0rei 7968 . . . 4  D  RR
3832, 37readdcli 6838 . . 3  T  x.  +  D  RR
3930, 32, 38ltletri 6921 . 2  T  x.  +  C  <  T  x.  T  x.  <_  T  x.  +  D  T  x.  +  C  <  T  x.  +  D
4034, 36, 39mp2an 402 1  T  x.  +  C  <  T  x.  +  D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6710   0cc0 6711   1c1 6712    + caddc 6714    x. cmul 6716    < clt 6857    <_ cle 6858   NNcn 7695   NN0cn0 7957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022
This theorem is referenced by:  decltc  8165  numlti  8167
  Copyright terms: Public domain W3C validator