Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divfnzn GIF version

Theorem divfnzn 8556
 Description: Division restricted to ℤ × ℕ is a function. Given excluded middle, it would be easy to prove this for ℂ × (ℂ ∖ {0}). The key difference is that an element of ℕ is apart from zero, whereas being an element of ℂ ∖ {0} implies being not equal to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
divfnzn ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)

Proof of Theorem divfnzn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 8250 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
21ad2antrr 457 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3 nncn 7922 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
43ad2antlr 458 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5 simpr 103 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
6 nnap0 7943 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
76ad2antlr 458 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑦 # 0)
82, 4, 5, 7divmulapd 7787 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 / 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
98riotabidva 5484 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
10 eqcom 2042 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧)
1110a1i 9 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧))
1211riotabidv 5470 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧))
13 simpl 102 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
143adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
156adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 # 0)
1613, 14, 15divclapd 7765 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℂ)
17 reueq 2738 . . . . . . . 8 ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℂ ↔ ∃!𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦))
1816, 17sylib 127 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦))
19 riotacl 5482 . . . . . . 7 (∃!𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℂ)
2018, 19syl 14 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℂ)
211, 20sylan 267 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℂ)
2212, 21eqeltrrd 2115 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧) ∈ ℂ)
239, 22eqeltrrd 2115 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
2423rgen2 2405 . 2 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
25 df-div 7652 . . . . 5 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2625reseq1i 4608 . . . 4 ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) ↾ (ℤ × ℕ))
27 zsscn 8253 . . . . 5 ℤ ⊆ ℂ
28 nncn 7922 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
29 nnne0 7942 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
30 eldifsn 3495 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
3128, 29, 30sylanbrc 394 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
3231ssriv 2949 . . . . 5 ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})
33 resmpt2 5599 . . . . 5 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) ↾ (ℤ × ℕ)) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)))
3427, 32, 33mp2an 402 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) ↾ (ℤ × ℕ)) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
3526, 34eqtri 2060 . . 3 ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
3635fnmpt2 5828 . 2 (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ → ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ))
3724, 36ax-mp 7 1 ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  ∀wral 2306  ∃!wreu 2308   ∖ cdif 2914   ⊆ wss 2917  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343   ↾ cres 4347   Fn wfn 4897  ℩crio 5467  (class class class)co 5512   ↦ cmpt2 5514  ℂcc 6887  0cc0 6889   · cmul 6894   # cap 7572   / cdiv 7651  ℕcn 7914  ℤcz 8245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-z 8246 This theorem is referenced by:  elq  8557
 Copyright terms: Public domain W3C validator