ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divfnzn Structured version   Unicode version

Theorem divfnzn 8332
Description: Division restricted to  ZZ  X.  NN is a function. Given excluded middle, it would be easy to prove this for  CC 
X.  CC  \  { 0 }. The key difference is that an element of  NN is apart from zero, whereas being an element of 
CC  \  { 0 } implies being not equal to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
divfnzn  |`  ZZ  X.  NN  Fn  ZZ  X.  NN

Proof of Theorem divfnzn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 8026 . . . . . . 7  ZZ  CC
21ad2antrr 457 . . . . . 6  ZZ  NN  CC  CC
3 nncn 7703 . . . . . . 7  NN  CC
43ad2antlr 458 . . . . . 6  ZZ  NN  CC  CC
5 simpr 103 . . . . . 6  ZZ  NN  CC  CC
6 nnap0 7724 . . . . . . 7  NN #  0
76ad2antlr 458 . . . . . 6  ZZ  NN  CC #  0
82, 4, 5, 7divmulapd 7569 . . . . 5  ZZ  NN  CC  x.
98riotabidva 5427 . . . 4  ZZ  NN  iota_  CC  iota_  CC  x.
10 eqcom 2039 . . . . . . 7
1110a1i 9 . . . . . 6  ZZ  NN
1211riotabidv 5413 . . . . 5  ZZ  NN  iota_  CC  iota_  CC
13 simpl 102 . . . . . . . . 9  CC  NN  CC
143adantl 262 . . . . . . . . 9  CC  NN  CC
156adantl 262 . . . . . . . . 9  CC  NN #  0
1613, 14, 15divclapd 7547 . . . . . . . 8  CC  NN  CC
17 reueq 2732 . . . . . . . 8  CC  CC
1816, 17sylib 127 . . . . . . 7  CC  NN  CC
19 riotacl 5425 . . . . . . 7  CC  iota_  CC  CC
2018, 19syl 14 . . . . . 6  CC  NN  iota_  CC  CC
211, 20sylan 267 . . . . 5  ZZ  NN  iota_  CC  CC
2212, 21eqeltrrd 2112 . . . 4  ZZ  NN  iota_  CC  CC
239, 22eqeltrrd 2112 . . 3  ZZ  NN  iota_  CC  x.  CC
2423rgen2 2399 . 2  ZZ  NN  iota_  CC  x.  CC
25 df-div 7434 . . . . 5  CC ,  CC  \  { 0 }  |->  iota_  CC  x.
2625reseq1i 4551 . . . 4  |`  ZZ  X.  NN  CC ,  CC  \  { 0 }  |->  iota_  CC  x.  |`  ZZ  X.  NN
27 zsscn 8029 . . . . 5  ZZ  C_  CC
28 nncn 7703 . . . . . . 7  NN  CC
29 nnne0 7723 . . . . . . 7  NN  =/=  0
30 eldifsn 3486 . . . . . . 7  CC  \  { 0 }  CC  =/=  0
3128, 29, 30sylanbrc 394 . . . . . 6  NN  CC  \  {
0 }
3231ssriv 2943 . . . . 5  NN  C_  CC  \  { 0 }
33 resmpt2 5541 . . . . 5  ZZ  C_  CC  NN  C_  CC  \  {
0 }  CC ,  CC  \  {
0 }  |-> 
iota_  CC  x.  |`  ZZ  X.  NN  ZZ ,  NN  |->  iota_  CC  x.
3427, 32, 33mp2an 402 . . . 4  CC ,  CC  \  { 0 } 
|->  iota_  CC  x.  |`  ZZ  X.  NN  ZZ ,  NN  |->  iota_  CC  x.
3526, 34eqtri 2057 . . 3  |`  ZZ  X.  NN  ZZ ,  NN  |->  iota_  CC  x.
3635fnmpt2 5770 . 2  ZZ  NN  iota_  CC  x.  CC  |`  ZZ  X.  NN  Fn  ZZ  X.  NN
3724, 36ax-mp 7 1  |`  ZZ  X.  NN  Fn  ZZ  X.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201  wral 2300  wreu 2302    \ cdif 2908    C_ wss 2911   {csn 3367   class class class wbr 3755    X. cxp 4286    |` cres 4290    Fn wfn 4840   iota_crio 5410  (class class class)co 5455    |-> cmpt2 5457   CCcc 6709   0cc0 6711    x. cmul 6716   # cap 7365   cdiv 7433   NNcn 7695   ZZcz 8021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-z 8022
This theorem is referenced by:  elq  8333
  Copyright terms: Public domain W3C validator