Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1nlemcxze GIF version

Theorem cvg1nlemcxze 9581
 Description: Lemma for cvg1n 9585. Rearranging an expression related to the rate of convergence. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1nlemcxze.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
cvg1nlemcxze.z (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.e (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
cvg1nlemcxze.1 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcxze (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))

Proof of Theorem cvg1nlemcxze
StepHypRef Expression
1 cvg1nlemcxze.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
21rpcnd 8624 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 2cnd 7988 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4 cvg1nlemcxze.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
54rpcnd 8624 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
64rpap0d 8628 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 # 0)
72, 3, 5, 6div23apd 7802 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) = ((𝐶 / 𝑋) · 2))
8 2rp 8588 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
98a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
101, 9rpmulcld 8639 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 · 2) ∈ ℝ+)
1110, 4rpdivcld 8640 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ+)
12 cvg1nlemcxze.z . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
1312nnrpd 8621 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
1411, 13rpdivcld 8640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ+)
1514rpred 8622 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) ∈ ℝ)
16 cvg1nlemcxze.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1716nnred 7927 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 7055 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) ∈ ℝ)
19 cvg1nlemcxze.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
2019nnred 7927 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2116nnrpd 8621 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2215, 21ltaddrpd 8656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴))
23 cvg1nlemcxze.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) + 𝐴) < 𝐸)
2415, 18, 20, 22, 23lttrd 7140 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸)
2511rpred 8622 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) ∈ ℝ)
2625, 20, 13ltdivmul2d 8675 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 2) / 𝑋) / 𝑍) < 𝐸 ↔ ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍)))
2724, 26mpbid 135 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 2) / 𝑋) < (𝐸 · 𝑍))
287, 27eqbrtrrd 3786 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍))
291rpred 8622 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3029, 4rerpdivcld 8654 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) ∈ ℝ)
3119, 12nnmulcld 7962 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℕ)
3231nnred 7927 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ)
3330, 32, 9ltmuldivd 8670 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 / 𝑋) · 2) < (𝐸 · 𝑍) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
3428, 33mpbid 135 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2))
3529, 9, 32, 4lt2mul2divd 8685 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) ↔ (𝐶 / 𝑋) < ((𝐸 · 𝑍) / 2)))
3634, 35mpbird 156 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 2) < ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋))
3731nncnd 7928 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
3837, 5mulcomd 7048 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑍) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
3936, 38breqtrd 3788 . 2 (𝜑 → (𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)))
404rpred 8622 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4131nnrpd 8621 . . 3 (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℝ+)
4229, 9, 40, 41lt2mul2divd 8685 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 2) < (𝑋 · (𝐸 · 𝑍)) ↔ (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2)))
4339, 42mpbid 135 1 (𝜑 → (𝐶 / (𝐸 · 𝑍)) < (𝑋 / 2))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   + caddc 6892   · cmul 6894   < clt 7060   / cdiv 7651  ℕcn 7914  2c2 7964  ℝ+crp 8583 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-rp 8584 This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  9584
 Copyright terms: Public domain W3C validator