Theorem cau3 9711

Description: Convert between three-quantifier and four-quantifier versions of the Cauchy criterion. (In particular, the four-quantifier version has no occurrence of 𝑗 in the assertion, so it can be used with rexanuz 9587 and friends.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cau3	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem cau3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau3.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 8492	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 2975	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		id 19	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
5		eleq1 2100	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
6		eleq1 2100	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
7		abssub 9697	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
8	7	3adant1 922	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
9		abssub 9697	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))))
10	9	3adant1 922	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))))
11		abs3lem 9707	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
12	11	3adant1 922	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
13	3, 4, 5, 6, 8, 10, 12	cau3lem 9710	. 2 ⊢ (⊤ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
14	13	trud 1252	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243  ⊤wtru 1244   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888   < clt 7060   − cmin 7182   / cdiv 7651  2c2 7964  ℤcz 8245  ℤ_≥cuz 8473  ℝ⁺crp 8583  abscabs 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597

This theorem is referenced by:  cau4  9712  serif0  9871