Theorem 4fvwrd4 8997

Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4fvwrd4	⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 4fvwrd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉)
2		0nn0 8196	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		elnn0uz 8510	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	mpbi 133	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
5		3nn0 8199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		elnn0uz 8510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘0))
7	5, 6	mpbi 133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
8		uzss 8493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘0))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘0)
10	9	sseli 2941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
11		eluzfz 8885	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0)) → 0 ∈ (0...𝐿))
12	4, 10, 11	sylancr 393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 ∈ (0...𝐿))
13	12	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 0 ∈ (0...𝐿))
14	1, 13	ffvelrnd 5303	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
15		risset 2352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 𝑎 = (𝑃‘0))
16		eqcom 2042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = 𝑎)
17	16	rexbii 2331	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 𝑎 = (𝑃‘0) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
18	15, 17	bitri 173	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
19	14, 18	sylib 127	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
20		1eluzge0 8516	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
21		1z 8271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		3z 8274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
23		1le3 8136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 3
24		eluz2 8479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
25	21, 22, 23, 24	mpbir3an 1086	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
26		uzss 8493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘1))
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘1)
28	27	sseli 2941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘1))
29		eluzfz 8885	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ (0...𝐿))
30	20, 28, 29	sylancr 393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (0...𝐿))
31	30	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 1 ∈ (0...𝐿))
32	1, 31	ffvelrnd 5303	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
33		risset 2352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = (𝑃‘1))
34		eqcom 2042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) = 𝑏)
35	34	rexbii 2331	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = (𝑃‘1) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
36	33, 35	bitri 173	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
37	32, 36	sylib 127	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
38	19, 37	jca 290	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
39		2eluzge0 8517	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘0)
40		uzuzle23 8513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘2))
41		eluzfz 8885	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ (0...𝐿))
42	39, 40, 41	sylancr 393	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ (0...𝐿))
43	42	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 2 ∈ (0...𝐿))
44	1, 43	ffvelrnd 5303	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
45		risset 2352	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑐 = (𝑃‘2))
46		eqcom 2042	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) = 𝑐)
47	46	rexbii 2331	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑐 = (𝑃‘2) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
48	45, 47	bitri 173	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
49	44, 48	sylib 127	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
50		eluzfz 8885	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘3)) → 3 ∈ (0...𝐿))
51	7, 50	mpan 400	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ∈ (0...𝐿))
52	51	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 3 ∈ (0...𝐿))
53	1, 52	ffvelrnd 5303	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
54		risset 2352	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑉 𝑑 = (𝑃‘3))
55		eqcom 2042	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) ↔ (𝑃‘3) = 𝑑)
56	55	rexbii 2331	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑉 𝑑 = (𝑃‘3) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
57	54, 56	bitri 173	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
58	53, 57	sylib 127	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
59	38, 49, 58	jca32 293	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ((∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
60		r19.42v 2467	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
61		r19.42v 2467	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
62	61	anbi2i 430	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
63	60, 62	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
64	63	rexbii 2331	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
65	64	2rexbii 2333	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
66		r19.42v 2467	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
67		r19.41v 2466	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
68	67	anbi2i 430	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
69	66, 68	bitri 173	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
70	69	2rexbii 2333	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
71		r19.41v 2466	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
72		r19.42v 2467	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
73	72	anbi1i 431	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
74	71, 73	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
75	74	rexbii 2331	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
76		r19.41v 2466	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
77		r19.41v 2466	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
78	77	anbi1i 431	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
79	75, 76, 78	3bitri 195	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
80	65, 70, 79	3bitri 195	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
81	59, 80	sylibr 137	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  0cc0 6889  1c1 6890   ≤ cle 7061  2c2 7964  3c3 7965  ℕ₀cn0 8181  ℤcz 8245  ℤ_≥cuz 8473  ...cfz 8874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875

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