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Theorem 4fvwrd4 8767
 Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑎 𝑉 𝑏 𝑉 𝑐 𝑉 𝑑 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . . 6 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉)
2 0nn0 7972 . . . . . . . . 9 0 0
3 elnn0uz 8286 . . . . . . . . 9 (0 0 ↔ 0 (ℤ‘0))
42, 3mpbi 133 . . . . . . . 8 0 (ℤ‘0)
5 3nn0 7975 . . . . . . . . . . 11 3 0
6 elnn0uz 8286 . . . . . . . . . . 11 (3 0 ↔ 3 (ℤ‘0))
75, 6mpbi 133 . . . . . . . . . 10 3 (ℤ‘0)
8 uzss 8269 . . . . . . . . . 10 (3 (ℤ‘0) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0))
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0)
109sseli 2935 . . . . . . . 8 (𝐿 (ℤ‘3) → 𝐿 (ℤ‘0))
11 eluzfz 8655 . . . . . . . 8 ((0 (ℤ‘0) 𝐿 (ℤ‘0)) → 0 (0...𝐿))
124, 10, 11sylancr 393 . . . . . . 7 (𝐿 (ℤ‘3) → 0 (0...𝐿))
1312adantr 261 . . . . . 6 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 0 (0...𝐿))
141, 13ffvelrnd 5246 . . . . 5 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘0) 𝑉)
15 risset 2346 . . . . . 6 ((𝑃‘0) 𝑉𝑎 𝑉 𝑎 = (𝑃‘0))
16 eqcom 2039 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = 𝑎)
1716rexbii 2325 . . . . . 6 (𝑎 𝑉 𝑎 = (𝑃‘0) ↔ 𝑎 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
1815, 17bitri 173 . . . . 5 ((𝑃‘0) 𝑉𝑎 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
1914, 18sylib 127 . . . 4 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑎 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
20 1eluzge0 8292 . . . . . . . 8 1 (ℤ‘0)
21 1z 8047 . . . . . . . . . . 11 1
22 3z 8050 . . . . . . . . . . 11 3
23 1le3 7914 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 3
24 eluz2 8255 . . . . . . . . . . 11 (3 (ℤ‘1) ↔ (1 3 1 ≤ 3))
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1085 . . . . . . . . . 10 3 (ℤ‘1)
26 uzss 8269 . . . . . . . . . 10 (3 (ℤ‘1) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1))
2725, 26ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1)
2827sseli 2935 . . . . . . . 8 (𝐿 (ℤ‘3) → 𝐿 (ℤ‘1))
29 eluzfz 8655 . . . . . . . 8 ((1 (ℤ‘0) 𝐿 (ℤ‘1)) → 1 (0...𝐿))
3020, 28, 29sylancr 393 . . . . . . 7 (𝐿 (ℤ‘3) → 1 (0...𝐿))
3130adantr 261 . . . . . 6 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 1 (0...𝐿))
321, 31ffvelrnd 5246 . . . . 5 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘1) 𝑉)
33 risset 2346 . . . . . 6 ((𝑃‘1) 𝑉𝑏 𝑉 𝑏 = (𝑃‘1))
34 eqcom 2039 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) = 𝑏)
3534rexbii 2325 . . . . . 6 (𝑏 𝑉 𝑏 = (𝑃‘1) ↔ 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3633, 35bitri 173 . . . . 5 ((𝑃‘1) 𝑉𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3732, 36sylib 127 . . . 4 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3819, 37jca 290 . . 3 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑎 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
39 2eluzge0 8293 . . . . . . 7 2 (ℤ‘0)
40 uzuzle23 8289 . . . . . . 7 (𝐿 (ℤ‘3) → 𝐿 (ℤ‘2))
41 eluzfz 8655 . . . . . . 7 ((2 (ℤ‘0) 𝐿 (ℤ‘2)) → 2 (0...𝐿))
4239, 40, 41sylancr 393 . . . . . 6 (𝐿 (ℤ‘3) → 2 (0...𝐿))
4342adantr 261 . . . . 5 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 2 (0...𝐿))
441, 43ffvelrnd 5246 . . . 4 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘2) 𝑉)
45 risset 2346 . . . . 5 ((𝑃‘2) 𝑉𝑐 𝑉 𝑐 = (𝑃‘2))
46 eqcom 2039 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) = 𝑐)
4746rexbii 2325 . . . . 5 (𝑐 𝑉 𝑐 = (𝑃‘2) ↔ 𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
4845, 47bitri 173 . . . 4 ((𝑃‘2) 𝑉𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
4944, 48sylib 127 . . 3 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
50 eluzfz 8655 . . . . . . 7 ((3 (ℤ‘0) 𝐿 (ℤ‘3)) → 3 (0...𝐿))
517, 50mpan 400 . . . . . 6 (𝐿 (ℤ‘3) → 3 (0...𝐿))
5251adantr 261 . . . . 5 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 3 (0...𝐿))
531, 52ffvelrnd 5246 . . . 4 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘3) 𝑉)
54 risset 2346 . . . . 5 ((𝑃‘3) 𝑉𝑑 𝑉 𝑑 = (𝑃‘3))
55 eqcom 2039 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑃‘3) ↔ (𝑃‘3) = 𝑑)
5655rexbii 2325 . . . . 5 (𝑑 𝑉 𝑑 = (𝑃‘3) ↔ 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
5754, 56bitri 173 . . . 4 ((𝑃‘3) 𝑉𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
5853, 57sylib 127 . . 3 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
5938, 49, 58jca32 293 . 2 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ((𝑎 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
60 r19.42v 2461 . . . . . 6 (𝑑 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) 𝑑 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑)))
61 r19.42v 2461 . . . . . . 7 (𝑑 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
6261anbi2i 430 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) 𝑑 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6360, 62bitri 173 . . . . 5 (𝑑 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6463rexbii 2325 . . . 4 (𝑐 𝑉 𝑑 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ 𝑐 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
65642rexbii 2327 . . 3 (𝑎 𝑉 𝑏 𝑉 𝑐 𝑉 𝑑 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ 𝑎 𝑉 𝑏 𝑉 𝑐 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
66 r19.42v 2461 . . . . 5 (𝑐 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) 𝑐 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
67 r19.41v 2460 . . . . . 6 (𝑐 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
6867anbi2i 430 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) 𝑐 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6966, 68bitri 173 . . . 4 (𝑐 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
70692rexbii 2327 . . 3 (𝑎 𝑉 𝑏 𝑉 𝑐 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ 𝑎 𝑉 𝑏 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
71 r19.41v 2460 . . . . . 6 (𝑏 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (𝑏 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
72 r19.42v 2461 . . . . . . 7 (𝑏 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
7372anbi1i 431 . . . . . 6 ((𝑏 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
7471, 73bitri 173 . . . . 5 (𝑏 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
7574rexbii 2325 . . . 4 (𝑎 𝑉 𝑏 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ 𝑎 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
76 r19.41v 2460 . . . 4 (𝑎 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (𝑎 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
77 r19.41v 2460 . . . . 5 (𝑎 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ (𝑎 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
7877anbi1i 431 . . . 4 ((𝑎 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((𝑎 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
7975, 76, 783bitri 195 . . 3 (𝑎 𝑉 𝑏 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((𝑎 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
8065, 70, 793bitri 195 . 2 (𝑎 𝑉 𝑏 𝑉 𝑐 𝑉 𝑑 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((𝑎 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 𝑏 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) (𝑐 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 𝑑 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
8159, 80sylibr 137 1 ((𝐿 (ℤ‘3) 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑎 𝑉 𝑏 𝑉 𝑐 𝑉 𝑑 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 (𝑃‘1) = 𝑏) ((𝑃‘2) = 𝑐 (𝑃‘3) = 𝑑)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   ⊆ wss 2911   class class class wbr 3755  ⟶wf 4841  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  0cc0 6711  1c1 6712   ≤ cle 6858  2c2 7744  3c3 7745  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249  ...cfz 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645 This theorem is referenced by: (None)
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