ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4fvwrd4 Structured version   Unicode version

Theorem 4fvwrd4 8767
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  b  V  c  V  d  V  P ` 
0  a  P `  1  b  P ` 
2  c  P `  3  d
Distinct variable groups:    P, a, b, c, d    V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    L( a, b, c, d)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . . 6  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P : 0 ... L --> V
2 0nn0 7972 . . . . . . . . 9  0  NN0
3 elnn0uz 8286 . . . . . . . . 9  0  NN0  0  ZZ>= `  0
42, 3mpbi 133 . . . . . . . 8  0  ZZ>= `  0
5 3nn0 7975 . . . . . . . . . . 11  3  NN0
6 elnn0uz 8286 . . . . . . . . . . 11  3  NN0  3  ZZ>= `  0
75, 6mpbi 133 . . . . . . . . . 10  3  ZZ>= `  0
8 uzss 8269 . . . . . . . . . 10  3  ZZ>= `  0  ZZ>= `  3  C_  ZZ>= `  0
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . 9  ZZ>= ` 
3  C_  ZZ>=
`  0
109sseli 2935 . . . . . . . 8  L  ZZ>= `  3  L 
ZZ>= `  0
11 eluzfz 8655 . . . . . . . 8  0  ZZ>= ` 
0  L  ZZ>= `  0  0  0 ... L
124, 10, 11sylancr 393 . . . . . . 7  L  ZZ>= `  3  0  0 ... L
1312adantr 261 . . . . . 6  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  0 
0 ... L
141, 13ffvelrnd 5246 . . . . 5  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P `  0  V
15 risset 2346 . . . . . 6  P `  0  V  a  V  a  P `  0
16 eqcom 2039 . . . . . . 7  a  P ` 
0  P `
 0  a
1716rexbii 2325 . . . . . 6  a  V  a  P `  0  a  V  P `  0  a
1815, 17bitri 173 . . . . 5  P `  0  V  a  V  P `  0  a
1914, 18sylib 127 . . . 4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  P `  0  a
20 1eluzge0 8292 . . . . . . . 8  1  ZZ>= `  0
21 1z 8047 . . . . . . . . . . 11  1  ZZ
22 3z 8050 . . . . . . . . . . 11  3  ZZ
23 1le3 7914 . . . . . . . . . . 11  1  <_  3
24 eluz2 8255 . . . . . . . . . . 11  3  ZZ>= `  1  1  ZZ  3  ZZ  1  <_  3
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1085 . . . . . . . . . 10  3  ZZ>= `  1
26 uzss 8269 . . . . . . . . . 10  3  ZZ>= `  1  ZZ>= `  3  C_  ZZ>= `  1
2725, 26ax-mp 7 . . . . . . . . 9  ZZ>= ` 
3  C_  ZZ>=
`  1
2827sseli 2935 . . . . . . . 8  L  ZZ>= `  3  L 
ZZ>= `  1
29 eluzfz 8655 . . . . . . . 8  1  ZZ>= ` 
0  L  ZZ>= `  1  1  0 ... L
3020, 28, 29sylancr 393 . . . . . . 7  L  ZZ>= `  3  1  0 ... L
3130adantr 261 . . . . . 6  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  1 
0 ... L
321, 31ffvelrnd 5246 . . . . 5  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P `  1  V
33 risset 2346 . . . . . 6  P `  1  V  b  V  b  P `  1
34 eqcom 2039 . . . . . . 7  b  P ` 
1  P `
 1  b
3534rexbii 2325 . . . . . 6  b  V  b  P `  1  b  V  P `  1  b
3633, 35bitri 173 . . . . 5  P `  1  V  b  V  P `  1  b
3732, 36sylib 127 . . . 4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  b  V  P `  1  b
3819, 37jca 290 . . 3  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  P ` 
0  a  b  V  P `  1  b
39 2eluzge0 8293 . . . . . . 7  2  ZZ>= `  0
40 uzuzle23 8289 . . . . . . 7  L  ZZ>= `  3  L 
ZZ>= `  2
41 eluzfz 8655 . . . . . . 7  2  ZZ>= ` 
0  L  ZZ>= `  2  2  0 ... L
4239, 40, 41sylancr 393 . . . . . 6  L  ZZ>= `  3  2  0 ... L
4342adantr 261 . . . . 5  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  2 
0 ... L
441, 43ffvelrnd 5246 . . . 4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P `  2  V
45 risset 2346 . . . . 5  P `  2  V  c  V  c  P `  2
46 eqcom 2039 . . . . . 6  c  P ` 
2  P `
 2  c
4746rexbii 2325 . . . . 5  c  V  c  P `  2  c  V  P `  2  c
4845, 47bitri 173 . . . 4  P `  2  V  c  V  P `  2  c
4944, 48sylib 127 . . 3  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  c  V  P `  2  c
50 eluzfz 8655 . . . . . . 7  3  ZZ>= ` 
0  L  ZZ>= `  3  3  0 ... L
517, 50mpan 400 . . . . . 6  L  ZZ>= `  3  3  0 ... L
5251adantr 261 . . . . 5  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  3 
0 ... L
531, 52ffvelrnd 5246 . . . 4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P `  3  V
54 risset 2346 . . . . 5  P `  3  V  d  V  d  P `  3
55 eqcom 2039 . . . . . 6  d  P ` 
3  P `
 3  d
5655rexbii 2325 . . . . 5  d  V  d  P `  3  d  V  P `  3  d
5754, 56bitri 173 . . . 4  P `  3  V  d  V  P `  3  d
5853, 57sylib 127 . . 3  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  d  V  P `  3  d
5938, 49, 58jca32 293 . 2  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
60 r19.42v 2461 . . . . . 6  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  d  V  P `  2  c  P `  3  d
61 r19.42v 2461 . . . . . . 7  d  V  P `  2  c  P `  3  d  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6261anbi2i 430 . . . . . 6  P ` 
0  a  P `  1  b  d  V  P `  2  c  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6360, 62bitri 173 . . . . 5  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6463rexbii 2325 . . . 4  c  V  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  c  V  P ` 
0  a  P `  1  b  P ` 
2  c  d  V  P `  3  d
65642rexbii 2327 . . 3  a  V  b  V  c  V  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  a  V  b  V  c  V  P ` 
0  a  P `  1  b  P ` 
2  c  d  V  P `  3  d
66 r19.42v 2461 . . . . 5  c  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
67 r19.41v 2460 . . . . . 6  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6867anbi2i 430 . . . . 5  P ` 
0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6966, 68bitri 173 . . . 4  c  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
70692rexbii 2327 . . 3  a  V  b  V  c  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  b  V  P ` 
0  a  P `  1  b  c  V  P ` 
2  c  d  V  P `  3  d
71 r19.41v 2460 . . . . . 6  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
72 r19.42v 2461 . . . . . . 7  b  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  0  a  b  V  P `  1  b
7372anbi1i 431 . . . . . 6  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
7471, 73bitri 173 . . . . 5  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
7574rexbii 2325 . . . 4  a  V  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
76 r19.41v 2460 . . . 4  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
77 r19.41v 2460 . . . . 5  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b
7877anbi1i 431 . . . 4  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
7975, 76, 783bitri 195 . . 3  a  V  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
8065, 70, 793bitri 195 . 2  a  V  b  V  c  V  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
8159, 80sylibr 137 1  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  b  V  c  V  d  V  P ` 
0  a  P `  1  b  P ` 
2  c  P `  3  d
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301    C_ wss 2911   class class class wbr 3755   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   0cc0 6711   1c1 6712    <_ cle 6858   2c2 7744   3c3 7745   NN0cn0 7957   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator