ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4fvwrd4 Unicode version

Theorem 4fvwrd4 8859
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  b  V  c  V  d  V  P ` 
0  a  P `  1  b  P ` 
2  c  P `  3  d
Distinct variable groups:    P, a, b, c, d    V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    L( a, b, c, d)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . . 6  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P : 0 ... L --> V
2 0nn0 8064 . . . . . . . . 9  0  NN0
3 elnn0uz 8378 . . . . . . . . 9  0  NN0  0  ZZ>= `  0
42, 3mpbi 133 . . . . . . . 8  0  ZZ>= `  0
5 3nn0 8067 . . . . . . . . . . 11  3  NN0
6 elnn0uz 8378 . . . . . . . . . . 11  3  NN0  3  ZZ>= `  0
75, 6mpbi 133 . . . . . . . . . 10  3  ZZ>= `  0
8 uzss 8361 . . . . . . . . . 10  3  ZZ>= `  0  ZZ>= `  3  C_  ZZ>= `  0
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . 9  ZZ>= ` 
3  C_  ZZ>=
`  0
109sseli 2938 . . . . . . . 8  L  ZZ>= `  3  L 
ZZ>= `  0
11 eluzfz 8747 . . . . . . . 8  0  ZZ>= ` 
0  L  ZZ>= `  0  0  0 ... L
124, 10, 11sylancr 393 . . . . . . 7  L  ZZ>= `  3  0  0 ... L
1312adantr 261 . . . . . 6  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  0 
0 ... L
141, 13ffvelrnd 5249 . . . . 5  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P `  0  V
15 risset 2349 . . . . . 6  P `  0  V  a  V  a  P `  0
16 eqcom 2042 . . . . . . 7  a  P ` 
0  P `
 0  a
1716rexbii 2328 . . . . . 6  a  V  a  P `  0  a  V  P `  0  a
1815, 17bitri 173 . . . . 5  P `  0  V  a  V  P `  0  a
1914, 18sylib 127 . . . 4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  P `  0  a
20 1eluzge0 8384 . . . . . . . 8  1  ZZ>= `  0
21 1z 8139 . . . . . . . . . . 11  1  ZZ
22 3z 8142 . . . . . . . . . . 11  3  ZZ
23 1le3 8006 . . . . . . . . . . 11  1  <_  3
24 eluz2 8347 . . . . . . . . . . 11  3  ZZ>= `  1  1  ZZ  3  ZZ  1  <_  3
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1086 . . . . . . . . . 10  3  ZZ>= `  1
26 uzss 8361 . . . . . . . . . 10  3  ZZ>= `  1  ZZ>= `  3  C_  ZZ>= `  1
2725, 26ax-mp 7 . . . . . . . . 9  ZZ>= ` 
3  C_  ZZ>=
`  1
2827sseli 2938 . . . . . . . 8  L  ZZ>= `  3  L 
ZZ>= `  1
29 eluzfz 8747 . . . . . . . 8  1  ZZ>= ` 
0  L  ZZ>= `  1  1  0 ... L
3020, 28, 29sylancr 393 . . . . . . 7  L  ZZ>= `  3  1  0 ... L
3130adantr 261 . . . . . 6  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  1 
0 ... L
321, 31ffvelrnd 5249 . . . . 5  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P `  1  V
33 risset 2349 . . . . . 6  P `  1  V  b  V  b  P `  1
34 eqcom 2042 . . . . . . 7  b  P ` 
1  P `
 1  b
3534rexbii 2328 . . . . . 6  b  V  b  P `  1  b  V  P `  1  b
3633, 35bitri 173 . . . . 5  P `  1  V  b  V  P `  1  b
3732, 36sylib 127 . . . 4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  b  V  P `  1  b
3819, 37jca 290 . . 3  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  P ` 
0  a  b  V  P `  1  b
39 2eluzge0 8385 . . . . . . 7  2  ZZ>= `  0
40 uzuzle23 8381 . . . . . . 7  L  ZZ>= `  3  L 
ZZ>= `  2
41 eluzfz 8747 . . . . . . 7  2  ZZ>= ` 
0  L  ZZ>= `  2  2  0 ... L
4239, 40, 41sylancr 393 . . . . . 6  L  ZZ>= `  3  2  0 ... L
4342adantr 261 . . . . 5  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  2 
0 ... L
441, 43ffvelrnd 5249 . . . 4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P `  2  V
45 risset 2349 . . . . 5  P `  2  V  c  V  c  P `  2
46 eqcom 2042 . . . . . 6  c  P ` 
2  P `
 2  c
4746rexbii 2328 . . . . 5  c  V  c  P `  2  c  V  P `  2  c
4845, 47bitri 173 . . . 4  P `  2  V  c  V  P `  2  c
4944, 48sylib 127 . . 3  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  c  V  P `  2  c
50 eluzfz 8747 . . . . . . 7  3  ZZ>= ` 
0  L  ZZ>= `  3  3  0 ... L
517, 50mpan 400 . . . . . 6  L  ZZ>= `  3  3  0 ... L
5251adantr 261 . . . . 5  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  3 
0 ... L
531, 52ffvelrnd 5249 . . . 4  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  P `  3  V
54 risset 2349 . . . . 5  P `  3  V  d  V  d  P `  3
55 eqcom 2042 . . . . . 6  d  P ` 
3  P `
 3  d
5655rexbii 2328 . . . . 5  d  V  d  P `  3  d  V  P `  3  d
5754, 56bitri 173 . . . 4  P `  3  V  d  V  P `  3  d
5853, 57sylib 127 . . 3  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  d  V  P `  3  d
5938, 49, 58jca32 293 . 2  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
60 r19.42v 2464 . . . . . 6  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  d  V  P `  2  c  P `  3  d
61 r19.42v 2464 . . . . . . 7  d  V  P `  2  c  P `  3  d  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6261anbi2i 430 . . . . . 6  P ` 
0  a  P `  1  b  d  V  P `  2  c  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6360, 62bitri 173 . . . . 5  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6463rexbii 2328 . . . 4  c  V  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  c  V  P ` 
0  a  P `  1  b  P ` 
2  c  d  V  P `  3  d
65642rexbii 2330 . . 3  a  V  b  V  c  V  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  a  V  b  V  c  V  P ` 
0  a  P `  1  b  P ` 
2  c  d  V  P `  3  d
66 r19.42v 2464 . . . . 5  c  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
67 r19.41v 2463 . . . . . 6  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6867anbi2i 430 . . . . 5  P ` 
0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
6966, 68bitri 173 . . . 4  c  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `
 0  a  P `
 1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
70692rexbii 2330 . . 3  a  V  b  V  c  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  b  V  P ` 
0  a  P `  1  b  c  V  P ` 
2  c  d  V  P `  3  d
71 r19.41v 2463 . . . . . 6  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
72 r19.42v 2464 . . . . . . 7  b  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  0  a  b  V  P `  1  b
7372anbi1i 431 . . . . . 6  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
7471, 73bitri 173 . . . . 5  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
7574rexbii 2328 . . . 4  a  V  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
76 r19.41v 2463 . . . 4  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
77 r19.41v 2463 . . . . 5  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b
7877anbi1i 431 . . . 4  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
7975, 76, 783bitri 195 . . 3  a  V  b  V  P `  0  a  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
8065, 70, 793bitri 195 . 2  a  V  b  V  c  V  d  V  P `  0  a  P `  1  b  P `  2  c  P `  3  d  a  V  P `  0  a  b  V  P `  1  b  c  V  P `  2  c  d  V  P `  3  d
8159, 80sylibr 137 1  L  ZZ>= ` 
3  P : 0 ... L --> V  a  V  b  V  c  V  d  V  P ` 
0  a  P `  1  b  P ` 
2  c  P `  3  d
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1243   wcel 1393  wrex 2304    C_ wss 2914   class class class wbr 3758   -->wf 4844   ` cfv 4848  (class class class)co 5458   0cc0 6779   1c1 6780    <_ cle 6950   2c2 7836   3c3 7837   NN0cn0 8049   ZZcz 8113   ZZ>=cuz 8341   ...cfz 8736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3866  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223  ax-iinf 4257  ax-cnex 6865  ax-resscn 6866  ax-1cn 6867  ax-1re 6868  ax-icn 6869  ax-addcl 6870  ax-addrcl 6871  ax-mulcl 6872  ax-addcom 6874  ax-addass 6876  ax-distr 6878  ax-i2m1 6879  ax-0id 6882  ax-rnegex 6883  ax-cnre 6885  ax-pre-ltirr 6886  ax-pre-ltwlin 6887  ax-pre-lttrn 6888  ax-pre-ltadd 6890
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-int 3610  df-iun 3653  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-tr 3849  df-eprel 4020  df-id 4024  df-po 4027  df-iso 4028  df-iord 4072  df-on 4074  df-suc 4077  df-iom 4260  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-f 4852  df-f1 4853  df-fo 4854  df-f1o 4855  df-fv 4856  df-riota 5414  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-1st 5712  df-2nd 5713  df-recs 5865  df-irdg 5901  df-1o 5944  df-2o 5945  df-oadd 5948  df-omul 5949  df-er 6046  df-ec 6048  df-qs 6052  df-ni 6292  df-pli 6293  df-mi 6294  df-lti 6295  df-plpq 6332  df-mpq 6333  df-enq 6335  df-nqqs 6336  df-plqqs 6337  df-mqqs 6338  df-1nqqs 6339  df-rq 6340  df-ltnqqs 6341  df-enq0 6412  df-nq0 6413  df-0nq0 6414  df-plq0 6415  df-mq0 6416  df-inp 6454  df-i1p 6455  df-iplp 6456  df-iltp 6458  df-enr 6701  df-nr 6702  df-ltr 6705  df-0r 6706  df-1r 6707  df-0 6786  df-1 6787  df-r 6789  df-lt 6792  df-pnf 6951  df-mnf 6952  df-xr 6953  df-ltxr 6954  df-le 6955  df-sub 7073  df-neg 7074  df-inn 7788  df-2 7845  df-3 7846  df-n0 8050  df-z 8114  df-uz 8342  df-fz 8737
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator