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Theorem 4fvwrd4 8997
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Distinct variable groups:   P, a, b, c, d   V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:   L( a, b, c, d)
Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> P : ( 0 ... L ) --> V )
2 0nn0 8196 . . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
3 elnn0uz 8510 . . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 <-> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42, 3mpbi 133 . . . . . . . 8 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
5 3nn0 8199 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN0
6 elnn0uz 8510 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
75, 6mpbi 133 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
8 uzss 8493 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
109sseli 2941 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
11 eluzfz 8885 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
124, 10, 11sylancr 393 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
1312adantr 261 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
141, 13ffvelrnd 5303 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
15 risset 2352 . . . . . 6 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V a = ( P ` 0 ) )
16 eqcom 2042 . . . . . . 7 |- ( a = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = a )
1716rexbii 2331 . . . . . 6 |- ( E. a e. V a = ( P ` 0 ) <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1815, 17bitri 173 . . . . 5 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1914, 18sylib 127 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
20 1eluzge0 8516 . . . . . . . 8 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
21 1z 8271 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
22 3z 8274 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ZZ
23 1le3 8136 . . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 3
24 eluz2 8479 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 1 <_ 3 ) )
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1086 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
26 uzss 8493 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
2725, 26ax-mp 7 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
2827sseli 2941 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29 eluzfz 8885 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3020, 28, 29sylancr 393 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3130adantr 261 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
321, 31ffvelrnd 5303 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
33 risset 2352 . . . . . 6 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V b = ( P ` 1 ) )
34 eqcom 2042 . . . . . . 7 |- ( b = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = b )
3534rexbii 2331 . . . . . 6 |- ( E. b e. V b = ( P ` 1 ) <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3633, 35bitri 173 . . . . 5 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3732, 36sylib 127 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3819, 37jca 290 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
39 2eluzge0 8517 . . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
40 uzuzle23 8513 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 2 ) )
41 eluzfz 8885 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4239, 40, 41sylancr 393 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4342adantr 261 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
441, 43ffvelrnd 5303 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
45 risset 2352 . . . . 5 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V c = ( P ` 2 ) )
46 eqcom 2042 . . . . . 6 |- ( c = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = c )
4746rexbii 2331 . . . . 5 |- ( E. c e. V c = ( P ` 2 ) <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4845, 47bitri 173 . . . 4 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4944, 48sylib 127 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
50 eluzfz 8885 . . . . . . 7 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
517, 50mpan 400 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
5251adantr 261 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
531, 52ffvelrnd 5303 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 3 ) e. V )
54 risset 2352 . . . . 5 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V d = ( P ` 3 ) )
55 eqcom 2042 . . . . . 6 |- ( d = ( P ` 3 ) <-> ( P ` 3 ) = d )
5655rexbii 2331 . . . . 5 |- ( E. d e. V d = ( P ` 3 ) <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5754, 56bitri 173 . . . 4 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5853, 57sylib 127 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5938, 49, 58jca32 293 . 2 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
60 r19.42v 2467 . . . . . 6 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
61 r19.42v 2467 . . . . . . 7 |- ( E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) <-> ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6261anbi2i 430 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6360, 62bitri 173 . . . . 5 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6463rexbii 2331 . . . 4 |- ( E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
65642rexbii 2333 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
66 r19.42v 2467 . . . . 5 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
67 r19.41v 2466 . . . . . 6 |- ( E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) <-> ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6867anbi2i 430 . . . . 5 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6966, 68bitri 173 . . . 4 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
70692rexbii 2333 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
71 r19.41v 2466 . . . . . 6 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
72 r19.42v 2467 . . . . . . 7 |- ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) <-> ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7372anbi1i 431 . . . . . 6 |- ( ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7471, 73bitri 173 . . . . 5 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7574rexbii 2331 . . . 4 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
76 r19.41v 2466 . . . 4 |- ( E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
77 r19.41v 2466 . . . . 5 |- ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) <-> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7877anbi1i 431 . . . 4 |- ( ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7975, 76, 783bitri 195 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8065, 70, 793bitri 195 . 2 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8159, 80sylibr 137 1 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2307   C_ wss 2917   class class class wbr 3764   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   0cc0 6889   1c1 6890   <_ cle 7061   2c2 7964   3c3 7965   NN0cn0 8181   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   ...cfz 8874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875
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