Theorem 1fv 8766

Description: A one value function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	|- (( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. }) -> ( P :( 0 ... 0) --> V /\ ( P ` 0) = N))

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8032	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
2		f1osng 5110	. . . . . 6 |- (( 0 e. ZZ /\ N e. V) -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N })
3	1, 2	mpan 400	. . . . 5 |- ( N e. V -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N })
4		f1ofo 5076	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } -> { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N })
5		dffo2 5053	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } <-> ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N }))
6	5	biimpi 113	. . . . . 6 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -onto-> { N } -> ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N }))
7		fzsn 8699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0) = { 0 })
8	1, 7	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 0) = { 0 }
9	8	eqcomi 2041	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0 ... 0)
10	9	feq2i 4983	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } <-> { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> { N })
11	10	biimpi 113	. . . . . . . . 9 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } -> { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> { N })
12		snssi 3499	. . . . . . . . 9 |- ( N e. V -> { N } C_ V)
13		fss 4997	. . . . . . . . 9 |- (( { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> { N } /\ { N } C_ V) -> { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V)
14	11, 12, 13	syl2an 273	. . . . . . . 8 |- (( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ N e. V) -> { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V)
15	14	ex 108	. . . . . . 7 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V))
16	15	adantr 261	. . . . . 6 |- (( { <. 0 , N >. } : { 0 } --> { N } /\ ran { <. 0 , N >. } = { N }) -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V))
17	4, 6, 16	3syl 17	. . . . 5 |- ( { <. 0 , N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } -> ( N e. V -> { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V))
18	3, 17	mpcom 32	. . . 4 |- ( N e. V -> { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V)
19		fvsng 5302	. . . . 5 |- (( 0 e. ZZ /\ N e. V) -> ( { <. 0 , N >. } ` 0) = N)
20	1, 19	mpan 400	. . . 4 |- ( N e. V -> ( { <. 0 , N >. } ` 0) = N)
21	18, 20	jca 290	. . 3 |- ( N e. V -> ( { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0) = N))
22	21	adantr 261	. 2 |- (( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. }) -> ( { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0) = N))
23		feq1 4973	. . . 4 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( P :( 0 ... 0) --> V <-> { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V))
24		fveq1 5120	. . . . 5 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> ( P ` 0) = ( { <. 0 , N >. } ` 0))
25	24	eqeq1d 2045	. . . 4 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> (( P ` 0) = N <-> ( { <. 0 , N >. } ` 0) = N))
26	23, 25	anbi12d 442	. . 3 |- ( P = { <. 0 , N >. } -> (( P :( 0 ... 0) --> V /\ ( P ` 0) = N) <-> ( { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0) = N)))
27	26	adantl 262	. 2 |- (( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. }) -> (( P :( 0 ... 0) --> V /\ ( P ` 0) = N) <-> ( { <. 0 , N >. } :( 0 ... 0) --> V /\ ( { <. 0 , N >. } ` 0) = N)))
28	22, 27	mpbird 156	1 |- (( N e. V /\ P = { <. 0 , N >. }) -> ( P :( 0 ... 0) --> V /\ ( P ` 0) = N))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242   e. wcel 1390   C_ wss 2911   {csn 3367   <.cop 3370   ran crn 4289   -->wf 4841   -onto->wfo 4843   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   0cc0 6711   ZZcz 8021   ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1re 6777  ax-addrcl 6780  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-apti 6798

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by: (None)