ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1fv Unicode version

Theorem 1fv 8766
Description: A one value function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1fv  N  V  P  { <. 0 ,  N >. }  P : 0 ... 0 --> V  P `  0  N

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 8032 . . . . . 6  0  ZZ
2 f1osng 5110 . . . . . 6  0  ZZ  N  V  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }
31, 2mpan 400 . . . . 5  N  V  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }
4 f1ofo 5076 . . . . . 6  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  { <. 0 ,  N >. } : { 0 }
-onto-> { N }
5 dffo2 5053 . . . . . . 7  { <. 0 ,  N >. } : { 0 }
-onto-> { N }  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ran  { <. 0 ,  N >. }  { N }
65biimpi 113 . . . . . 6  { <. 0 ,  N >. } : { 0 }
-onto-> { N }  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ran  { <. 0 ,  N >. }  { N }
7 fzsn 8699 . . . . . . . . . . . . 13  0  ZZ 
0 ... 0  { 0 }
81, 7ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  0 ... 0  { 0 }
98eqcomi 2041 . . . . . . . . . . 11  { 0 }  0 ... 0
109feq2i 4983 . . . . . . . . . 10  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> { N }
1110biimpi 113 . . . . . . . . 9  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  {
<. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> { N }
12 snssi 3499 . . . . . . . . 9  N  V  { N }  C_  V
13 fss 4997 . . . . . . . . 9  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> { N }  { N }  C_  V  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V
1411, 12, 13syl2an 273 . . . . . . . 8  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  N  V  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V
1514ex 108 . . . . . . 7  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  N  V  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V
1615adantr 261 . . . . . 6  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ran  { <. 0 ,  N >. }  { N }  N  V  {
<. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V
174, 6, 163syl 17 . . . . 5  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  N  V  {
<. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V
183, 17mpcom 32 . . . 4  N  V  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V
19 fvsng 5302 . . . . 5  0  ZZ  N  V  { <. 0 ,  N >. } `  0  N
201, 19mpan 400 . . . 4  N  V  { <. 0 ,  N >. } `  0  N
2118, 20jca 290 . . 3  N  V  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V  { <. 0 ,  N >. } `  0  N
2221adantr 261 . 2  N  V  P  { <. 0 ,  N >. }  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V  { <. 0 ,  N >. } `  0  N
23 feq1 4973 . . . 4  P  { <. 0 ,  N >. }  P : 0 ... 0 --> V  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V
24 fveq1 5120 . . . . 5  P  { <. 0 ,  N >. }  P `  0  { <. 0 ,  N >. } `  0
2524eqeq1d 2045 . . . 4  P  { <. 0 ,  N >. }  P `  0  N  { <. 0 ,  N >. } `
 0  N
2623, 25anbi12d 442 . . 3  P  { <. 0 ,  N >. }  P : 0 ... 0 --> V  P `  0  N  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V  { <. 0 ,  N >. } `  0  N
2726adantl 262 . 2  N  V  P  { <. 0 ,  N >. }  P : 0 ... 0 --> V  P `
 0  N  { <. 0 ,  N >. } : 0 ... 0 --> V  { <. 0 ,  N >. } `  0  N
2822, 27mpbird 156 1  N  V  P  { <. 0 ,  N >. }  P : 0 ... 0 --> V  P `  0  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390    C_ wss 2911   {csn 3367   <.cop 3370   ran crn 4289   -->wf 4841   -onto->wfo 4843   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   0cc0 6711   ZZcz 8021   ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1re 6777  ax-addrcl 6780  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-apti 6798
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator