ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1osng Unicode version

Theorem f1osng 5110
Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
f1osng  V  W  { <. ,  >. } : { }
-1-1-onto-> { }

Proof of Theorem f1osng
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3378 . . . 4  a  {
a }  { }
2 f1oeq2 5061 . . . 4  {
a }  { }  { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  { <. a ,  b >. } : { } -1-1-onto-> { b }
31, 2syl 14 . . 3  a  { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  { <. a ,  b >. } : { } -1-1-onto-> { b }
4 opeq1 3540 . . . . 5  a  <. a ,  b >.  <. ,  b >.
54sneqd 3380 . . . 4  a  { <. a ,  b >. }  { <. , 
b >. }
6 f1oeq1 5060 . . . 4  { <. a ,  b >. }  { <. , 
b >. }  { <. a ,  b
>. } : { }
-1-1-onto-> { b }  { <. ,  b >. } : { } -1-1-onto-> { b }
75, 6syl 14 . . 3  a  { <. a ,  b
>. } : { }
-1-1-onto-> { b }  { <. ,  b >. } : { } -1-1-onto-> { b }
83, 7bitrd 177 . 2  a  { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  { <. ,  b >. } : { } -1-1-onto-> { b }
9 sneq 3378 . . . 4  b  {
b }  { }
10 f1oeq3 5062 . . . 4  {
b }  { }  { <. ,  b
>. } : { }
-1-1-onto-> { b }  { <. ,  b >. } : { } -1-1-onto-> { }
119, 10syl 14 . . 3  b  { <. ,  b
>. } : { }
-1-1-onto-> { b }  { <. ,  b >. } : { } -1-1-onto-> { }
12 opeq2 3541 . . . . 5  b  <. ,  b >.  <. ,  >.
1312sneqd 3380 . . . 4  b  { <. ,  b >. }  { <. ,  >. }
14 f1oeq1 5060 . . . 4  { <. ,  b >. }  { <. ,  >. }  { <. ,  b
>. } : { }
-1-1-onto-> { }  { <. ,  >. } : { } -1-1-onto-> { }
1513, 14syl 14 . . 3  b  { <. ,  b
>. } : { }
-1-1-onto-> { }  { <. ,  >. } : { } -1-1-onto-> { }
1611, 15bitrd 177 . 2  b  { <. ,  b
>. } : { }
-1-1-onto-> { b }  { <. ,  >. } : { } -1-1-onto-> { }
17 vex 2554 . . 3  a 
_V
18 vex 2554 . . 3  b 
_V
1917, 18f1osn 5109 . 2  { <. a ,  b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }
208, 16, 19vtocl2g 2611 1  V  W  { <. ,  >. } : { }
-1-1-onto-> { }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   {csn 3367   <.cop 3370   -1-1-onto->wf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by:  f1oprg  5111  fsnunf  5305  1fv  8766
  Copyright terms: Public domain W3C validator