Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1fv GIF version

Theorem 1fv 8996
 Description: A one value function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1fv ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 8256 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 f1osng 5167 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
31, 2mpan 400 . . . . 5 (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
4 f1ofo 5133 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁})
5 dffo2 5110 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
65biimpi 113 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
7 fzsn 8929 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
81, 7ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12 (0...0) = {0}
98eqcomi 2044 . . . . . . . . . . 11 {0} = (0...0)
109feq2i 5040 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
1110biimpi 113 . . . . . . . . 9 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
12 snssi 3508 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
13 fss 5054 . . . . . . . . 9 (({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
1411, 12, 13syl2an 273 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ 𝑁𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
1514ex 108 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
1615adantr 261 . . . . . 6 (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ∧ ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}) → (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
174, 6, 163syl 17 . . . . 5 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
183, 17mpcom 32 . . . 4 (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
19 fvsng 5359 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
201, 19mpan 400 . . . 4 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
2118, 20jca 290 . . 3 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
2221adantr 261 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
23 feq1 5030 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
24 fveq1 5177 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
2524eqeq1d 2048 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
2623, 25anbi12d 442 . . 3 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
2726adantl 262 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
2822, 27mpbird 156 1 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ⊆ wss 2917  {csn 3375  ⟨cop 3378  ran crn 4346  ⟶wf 4898  –onto→wfo 4900  –1-1-onto→wf1o 4901  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  0cc0 6889  ℤcz 8245  ...cfz 8874 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1re 6978  ax-addrcl 6981  ax-rnegex 6993  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-apti 6999 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-neg 7185  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator