ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1fv Structured version   GIF version

Theorem 1fv 8726
Description: A one value function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1fv ((𝑁 𝑉 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 7992 . . . . . 6 0
2 f1osng 5110 . . . . . 6 ((0 𝑁 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
31, 2mpan 400 . . . . 5 (𝑁 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁})
4 f1ofo 5076 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁})
5 dffo2 5053 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
65biimpi 113 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–onto→{𝑁} → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}))
7 fzsn 8659 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ℤ → (0...0) = {0})
81, 7ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12 (0...0) = {0}
98eqcomi 2041 . . . . . . . . . . 11 {0} = (0...0)
109feq2i 4983 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
1110biimpi 113 . . . . . . . . 9 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁})
12 snssi 3499 . . . . . . . . 9 (𝑁 𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
13 fss 4997 . . . . . . . . 9 (({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶{𝑁} {𝑁} ⊆ 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
1411, 12, 13syl2an 273 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} 𝑁 𝑉) → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
1514ex 108 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} → (𝑁 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
1615adantr 261 . . . . . 6 (({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶{𝑁} ran {⟨0, 𝑁⟩} = {𝑁}) → (𝑁 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
174, 6, 163syl 17 . . . . 5 ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑁} → (𝑁 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
183, 17mpcom 32 . . . 4 (𝑁 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉)
19 fvsng 5302 . . . . 5 ((0 𝑁 𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
201, 19mpan 400 . . . 4 (𝑁 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
2118, 20jca 290 . . 3 (𝑁 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
2221adantr 261 . 2 ((𝑁 𝑉 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
23 feq1 4973 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉))
24 fveq1 5120 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
2524eqeq1d 2045 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
2623, 25anbi12d 442 . . 3 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
2726adantl 262 . 2 ((𝑁 𝑉 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:(0...0)⟶𝑉 ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
2822, 27mpbird 156 1 ((𝑁 𝑉 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 (𝑃‘0) = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wss 2911  {csn 3367  cop 3370  ran crn 4289  wf 4841  ontowfo 4843  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845  (class class class)co 5455  0cc0 6671  cz 7981  ...cfz 8604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1re 6737  ax-addrcl 6740  ax-rnegex 6752  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-apti 6758
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-neg 6942  df-z 7982  df-uz 8210  df-fz 8605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator